Um compósito reforçado com fibras de vidro continuas e alinhadas consiste em 50 \mathrm{vol} .-\% de fibras (\mathrm{E}=69 \mathrm{GPa}) e resina epóxi (\mathrm{E}=3,4 \mathrm{GPa}).
a. Calcule o modulo de elasticidade na direção longitudinal.
b. Se a seção reta é de 500 \mathrm{~mm}^{2} e é aplicada uma tensão de 100 MPa , calcule a forca sustentada pelas fibras e pela matriz.
c. Determine a deformação elástica das fibras, da matriz e do compósito nas condições do item b.
d. Calcule o modulo de elasticidade do compósito no sentido transversal da orientação das fibras.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Fração volumétrica das fibras: V_f=0{,}5 (ou 50\%).
    • Fração volumétrica da matriz (resina): V_m=0{,}5.
    • Módulo de elasticidade das fibras: E_f=69\\ \mathrm{GPa}.
    • Módulo de elasticidade da resina: E_m=3{,}4\\ \mathrm{GPa}.
    • Área da seção transversal do compósito: A=500\\ \mathrm{mm}^2.
    • Tensão aplicada no compósito (longitudinal): \sigma_c=100\\ \mathrm{MPa}.
  • Perguntas do exercício:
    a. Calcular o módulo de elasticidade na direção longitudinal do compósito.
    b. Para A=500\\ \mathrm{mm}^2 e \sigma_c=100\\ \mathrm{MPa}, calcular a força suportada pelas fibras e pela matriz.
    c. Determinar a deformação elástica (tensão unitária) das fibras, da matriz e do compósito nas condições do item b.
    d. Calcular o módulo de elasticidade do compósito na direção transversal às fibras.

Passo 2

Como se calcula o módulo longitudinal? Explicação didática e fórmula.
  • Intuição e princípio (modelo em paralelo / condição iso-deformação):
    Quando o carregamento é aplicado ao longo da direção das fibras (longitudinal), fibras e matriz deformam-se juntos: têm a mesma deformação ( \varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c). Isso é chamado condição de iso-deformação. Sob essa condição, a rigidez equivalente do compósito é a soma ponderada dos módulos por suas frações volumétricas.
  • Fórmula (regra das misturas, paralelo):
E_L = V_f E_f + V_m E_m
onde
  • E_L é o módulo efetivo longitudinal do compósito,
  • V_f e V_m são as frações volumétricas de fibra e matriz,
  • E_f e E_m são os módulos das duas fases.
  • Cálculo numérico:
E_L = 0{,}5\cdot 69 + 0{,}5\cdot 3{,}4 = \frac{69+3{,}4}{2}=36{,}2\\ \mathrm{GPa}.

Passo 3

Forças nas fases sob tensão aplicada: raciocínio, fórmulas e cálculos passo a passo.
  • Primeiro, força total aplicada ao compósito:
F_{tot} = \sigma_c \, A.
Usando \sigma_c=100\\ \mathrm{MPa} e A=500\\ \mathrm{mm}^2:
F_{tot} = 100\\ \mathrm{MPa}\times 500\\ \mathrm{mm}^2 = 100\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\times 500\\ \mathrm{mm}^2 = 50000\\ \mathrm{N}.
  • Encontrar a deformação do compósito (e das fases) usando a relação linear de Hooke para o compósito:
\varepsilon_c=\frac{\sigma_c}{E_L}.
Converter unidades convenientemente: \sigma_c=100\\ \mathrm{MPa}=0{,}1\\ \mathrm{GPa}. Assim
\varepsilon_c=\frac{0{,}1}{36{,}2}\approx 0{,}002762.
(ou \varepsilon_c\approx 2{,}762\times 10^{-3}).
  • Como estamos em condição iso-deformação, \varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c. Então as tensões nas fases são:
\sigma_f = E_f\,\varepsilon_c,\qquad \sigma_m = E_m\,\varepsilon_c.
Cálculo numérico (em \mathrm{MPa}):
\sigma_f = 69\\ \mathrm{GPa}\times 0{,}002762 \approx 0{,}1906\\ \mathrm{GPa}=190{,}6\\ \mathrm{MPa},
\sigma_m = 3{,}4\\ \mathrm{GPa}\times 0{,}002762 \approx 0{,}009392\\ \mathrm{GPa}=9{,}392\\ \mathrm{MPa}.
  • Áreas das fases (assumindo frações volumétricas iguais às frações de área nesta seção reta alinhada):
A_f = V_f A = 0{,}5\times 500\\ \mathrm{mm}^2 = 250\\ \mathrm{mm}^2,
A_m = V_m A = 250\\ \mathrm{mm}^2.
  • Forças em cada fase:
F_f = \sigma_f\, A_f, \qquad F_m = \sigma_m\, A_m.
Cálculo numérico:
F_f = 190{,}6\\ \mathrm{MPa}\times 250\\ \mathrm{mm}^2 \approx 47650\\ \mathrm{N},
F_m = 9{,}392\\ \mathrm{MPa}\times 250\\ \mathrm{mm}^2 \approx 2348\\ \mathrm{N}.
Verificação rápida: F_f+F_m\approx 47650+2348=49998\\ \mathrm{N}, que é aproximadamente 50000\\ \mathrm{N} (diferenças de arredondamento).

Passo 4

Deformações elásticas das fibras, da matriz e do compósito (explicação e cálculo simples).
  • Como já usado: em carregamento longitudinal as deformações são iguais (iso-deformação). Logo:
\varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c=\frac{\sigma_c}{E_L}.
Substituindo o valor encontrado:
\varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c\approx 0{,}002762\\ (\text{adimensional}).
  • Verificação por divisão tensão/modulo:
\varepsilon_f=\frac{\sigma_f}{E_f}=\frac{190{,}6}{69000}\approx 0{,}002762, \qquad \varepsilon_m=\frac{\sigma_m}{E_m}=\frac{9{,}392}{3400}\approx 0{,}002762.

Passo 5

Módulo transversal do compósito: explicação da regra inversa e cálculo.
  • Intuição e princípio (modelo em série / condição iso-tensão efetiva):
    Quando se busca o módulo efetivo na direção transversal (perpendicular às fibras), a resposta elástica do compósito frequentemente segue a chamada regra das misturas inversa: as deformações relativas entre fases ficam como se as fases estivessem “em série” para a transferência de tensão transversal, levando a uma expressão do tipo 1/E_T = V_f/E_f + V_m/E_m. Este é o modelo clássico para o módulo transversal E_T.
  • Fórmula (regra inversa das misturas):
\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
  • Cálculo numérico (usando GPa):
\frac{1}{E_T}=0{,}5\cdot\frac{1}{69}+0{,}5\cdot\frac{1}{3{,}4} = \frac{0{,}5}{69}+\frac{0{,}5}{3{,}4}\approx 0{,}0072464+0{,}1470588=0{,}1543052.
E_T=\frac{1}{0{,}1543052}\approx 6{,}48\\ \mathrm{GPa}.

Resposta

(a) E_L=36{,}2\\ \mathrm{GPa}
(b) F_{\text{fibras}}\approx 4{,}77\times10^{4}\\ \mathrm{N} \left(\approx 47650\\ \mathrm{N}\right)
F_{\text{matriz}}\approx 2{,}35\times10^{3}\\ \mathrm{N} \left(\approx 2348\\ \mathrm{N}\right)
(c) \varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c\approx 0{,}002762
(d) E_T\approx 6{,}48\\ \mathrm{GPa}

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