Considerando um cenário em que a barra é solta desde o repouso de uma configuração inicial
, aplique o método de conservação da energia mecânica para determinar sua velocidade ângular
em função de um ângulo
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (do jeitinho claro, sem mistério):
- Dado: uma barra (comprimento
, massa ) está presa em um ponto e, a partir do repouso, é solta numa configuração inicial com ângulo . - Dado implícito (vamos assumir porque a questão não detalha): não há atrito no pivô e a gravidade tem aceleração
. O ângulo mede a posição angular da barra em relação à vertical (mesma referência para ). - Pedido: obter a velocidade angular
da barra quando ela atingir um ângulo tal que (ou seja, a barra girou mais para baixo do que a posição inicial). - Observações práticas: não foi dado
nem numericamente, então a resposta ficará em termos de e (e provavelmente se cancelará).
Passo 2
Escolhendo referência de energia e escrevendo a energia potencial do centro de massa (explicando passo a passo)
- Vou usar energia gravitacional do centro de massa da barra. A energia potencial gravitacional do centro de massa é
, onde é a coordenada vertical do centro de massa medida a partir de um referencial escolhido. - Para uma barra uniforme presa em uma extremidade, o centro de massa está no meio: a distância do pivô até o centro de massa é
. - Se
é o ângulo medido a partir da vertical, a altura vertical do centro de massa (em relação a alguma referência) é proporcional a . Tomamos, por simplicidade, a altura do centro de massa como
Isso significa que, quando
aumenta (a barra gira mais para baixo),
diminui e o centro de massa desce — o que dá energia cinética.
Passo 3
Momento de inércia da barra em relação ao pivô (mostrando de onde vem a fórmula)
- Para traduzir velocidade angular em energia cinética rotacional precisamos do momento de inércia
da barra em relação ao pivô. - O momento de inércia da barra uniforme em relação ao seu centro é
. - Usando o teorema dos eixos paralelos (displacement
do centro para o pivô),
- Portanto vamos usar
Passo 4
Aplicando conservação da energia mecânica e resolvendo para
- Energia inicial (no ângulo
, repouso): só potencial do centro de massa,
- Energia num ângulo qualquer
: potencial mais energia cinética rotacional,
- Conservação da energia (sem perdas):
. Substituindo e ,
- Isolando a energia cinética:
- Simplificando (veja que
cancela):
- Tomando a raiz positiva (velocidade angular positiva no sentido de aumento de
):
- Substituindo
se você quiser a forma com número,
Passo 5
Interpretação física rápida e verificação de sinal (ânimo!)
- A expressão faz sentido: se
então e (começamos do repouso). Para temos menor que , então o termo dentro da raiz é positivo e a velocidade angular aumenta. - A resposta depende somente de
e porque a massa cancela — típico de problemas onde a gravidade faz trabalho e o sistema é rígido.