Escreva as 3 equações do movimento da barra:
3.a) as 2 que governam o movimento de translação de
3.b) e a equação do movimento de rotação da barra
também:
3.c) identifique todas as incógnitas do problema
3.d) determine a aceleração angular inicial para o caso em que a barra é solta desde o repouso com um ângulo inicial
3.a) as 2 que governam o movimento de translação de
3.b) e a equação do movimento de rotação da barra
também:
3.c) identifique todas as incógnitas do problema
3.d) determine a aceleração angular inicial para o caso em que a barra é solta desde o repouso com um ângulo inicial
Passo 1
O que o enunciado pede:
- 3.a) Escrever as duas equações de translação que vêm de
. - 3.b) Escrever a equação de rotação que vem de
. - 3.c) Identificar todas as incógnitas do problema.
- 3.d) Calcular a aceleração angular inicial quando a barra é solta do repouso com ângulo inicial
.
Informações fornecidas / hipótese necessária (assumo isto porque o enunciado típico que pede essas equações refere-se a este caso; se o seu enunciado for diferente diga-me):
- A barra é rígida, de massa
e comprimento . - A barra está articulada (pivot) em uma extremidade
sem atrito; o centro de massa da barra é , localizado a uma distância de . - A gravidade atua verticalmente para baixo com intensidade
. - O ângulo
mede a orientação da barra no instante considerado (o enunciado dá no instante de soltura). - No instante inicial a barra é solta a partir do repouso, portanto
.
(Observação: se no seu enunciado a barra não estiver presa em uma extremidade, avise; as equações e o número de incógnitas mudam.)
Passo 2
Desenho mental / forças e variáveis relevantes (sem resolver ainda):
- Forças externas: reação do pivô em
com componentes e e o peso atuando em verticalmente para baixo. - A massa total é
. A posição do centro de massa em relação ao pivô é de módulo e direção ao longo da barra. - Vamos usar um sistema de eixos cartesiano
com horizontal positivo para a direita e vertical positivo para cima. O ângulo será medido da horizontal (outra escolha só mudaria componentes trigonométricas algebricamente, mas manteremos consistência quando aparecerem senos e cossenos).
Definições que usaremos:
- Aceleração do centro de massa
: . - Aceleração angular da barra:
. - Momento de inércia da barra em relação ao pivô
: usaremos o teorema dos eixos paralelos quando necessário.
Passo 3
Escrevendo as equações de translação (forma vetorial e depois componentes).
- A equação vetorial geral é
As forças externas são
(reação no pivô) e
(peso, para baixo). Logo:
Separando em componentes
e
:
Comentário didático sobre estas equações:
- Estas duas equações representam conservação da quantidade de movimento linear nas direções
e . As incógnitas aqui aparecem porque a reação do pivô pode acelerar o centro de massa, e depende do movimento de rotação da barra (pela ligação rígida entre pontos).
Passo 4
Relação entre
e a aceleração angular
— para usar nas equações acima:
- Para um corpo rígido em rotação em torno de
, a aceleração do ponto tem duas componentes: tangencial e normal. Em módulo: - componente tangencial
(direção perpendicular à barra, sentido que segue o sinal de ), - componente normal
(direção para o pivô).
- componente tangencial
- No instante inicial, como a barra é solta a partir do repouso,
. Portanto inicialmente e a aceleração de é puramente tangencial: onde é o versor tangencial (perpendicular à barra). Se precisarmos das componentes , projetamos usando trigonometria com o ângulo .
Passo 5
Escrevendo a equação de rotação em torno do pivô
:
- A forma conveniente para encontrar
é somar momentos em relação ao pivô , porque a reação no pivô passa por e, portanto, tem momento nulo em relação a . - A equação é:
onde
é o momento de inércia da barra em relação ao ponto
.
Cálculo do momento causado pelo peso:
- O peso
atua em , a uma distância perpendicular de do pivô. O braço do peso é e a componente de momento é (o sinal depende da convenção; aqui escolhemos positivo se for no sentido que aumenta ; a gravidade tende a diminuir quando a barra está para cima, daí o sinal negativo). - Assim:
Momento de inércia da barra em relação ao pivô
:
- Para uma barra uniforme de comprimento
girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia é conhecido:
(Se você não decorou, lembra do teorema: para uma barra sobre seu centro
e pelo teorema dos eixos paralelos
.)
Portanto a equação de rotação fica:
Passo 6
Simplificação da equação de rotação para obter
em função de
:
- Isolando
:
Comentário didático:
- Observe que a massa
cancela: a aceleração angular não depende de , porque tanto o momento gerador quanto o momento de inércia crescem com . - O sinal negativo indica que o efeito do peso é causar
no sentido que reduz (ou seja, gira a barra para “baixo”).
Passo 7
Identificação das incógnitas do problema (3.c):
- Reações no pivô:
e . - Acelerações do centro de massa:
e (ou, alternativamente, a aceleração tangencial e normal ). - Aceleração angular da barra:
(função do tempo, mas em particular no instante inicial). - Se necessário, a velocidade angular
e o ângulo são incógnitas dependentes do tempo que surgem ao integrar as equações.
Passo 8
Cálculo da aceleração angular inicial (
) para
e condição inicial
:
- Usamos a expressão geral obtida:
- Substituindo
:
- Se quiser um valor numérico em função de
, usando :
Isto significa, por exemplo, se
então
. O sinal negativo indica que
começa a diminuir (gira “para baixo”).
Resposta
3.a)
\
\
3.b) \
3.c) Incógnitas: (e, se necessário,
) \
3.d) (usando
).
3.b)
3.c) Incógnitas:
3.d)