Escreva as 3 equações do movimento da barra:
3.a) as 2 que governam o movimento de translação de
3.b) e a equação do movimento de rotação da barra
também:
3.c) identifique todas as incógnitas do problema
3.d) determine a aceleração angular inicial para o caso em que a barra é solta desde o repouso com um ângulo inicial
3.a) as 2 que governam o movimento de translação de
3.b) e a equação do movimento de rotação da barra
também:
3.c) identifique todas as incógnitas do problema
3.d) determine a aceleração angular inicial para o caso em que a barra é solta desde o repouso com um ângulo inicial
Passo 1
O que o problema pede:
- 3.a) Escrever as duas equações de translação da barra na forma
. - 3.b) Escrever a equação de rotação da barra na forma
. - 3.c) Identificar todas as incógnitas do problema.
- 3.d) Determinar a aceleração angular inicial quando a barra é solta do repouso com ângulo inicial
.
Informações dadas e hipóteses (claras e necessárias para resolver):
- A barra é rígida e uniforme, massa
e comprimento . - A barra encosta numa parede vertical (superfície lisa, reação horizontal) e num piso horizontal (superfície lisa, reação vertical). Essas duas reações são normais e não têm atrito.
- O centro de massa da barra é
, localizado no meio da barra (distância de cada extremidade). - A barra está inicialmente apoiada formando um ângulo
com o piso; o problema pede o caso inicial . - A barra é solta a partir do repouso (velocidade angular inicial
).
Observação: a resolução a seguir usa somente as quantidades acima (
). Não assumirei valores numéricos para
ou
a menos que você confirme; quando necessário apresentarei o resultado em função de
.
Passo 2
Desenho mental e definição de forças e sinais (importante para escrever as equações corretamente).
- Eixos escolhidos: eixo
horizontal para a direita, eixo vertical para cima. - Reações de contato:
-
: reação horizontal na parede (aplicada na extremidade superior), direcionada para a direita ou esquerda conforme desenho; tomaremos como a força que a parede exerce sobre a barra (apontando para a direita se a parede fica à esquerda). -
: reação vertical no piso (aplicada na extremidade inferior), dirigida para cima.
-
- Peso:
, aplicado no centro verticalmente para baixo. - Acelerações do centro de massa: componentes
e . - Aceleração angular da barra:
(escalar, sentido positivo conforme convenção a escolher; aqui tomaremos como sentido que aumenta ; se a barra tende a cair reduzindo o resultado numérico pode ser negativo — isso é natural). - Momento de inércia da barra em relação ao centro de massa
(barra uniforme):
Passo 3
Escrever as duas equações de translação (soma de forças = massa × aceleração).
- Soma de forças na direção
:
Explicação: a única força horizontal é a reação
na parede (assumindo parede lisa e piso sem atrito). Pela segunda lei de Newton, essa força produz a aceleração horizontal do centro de massa.
- Soma de forças na direção
:
Explicação: a reação vertical
no piso para cima e o peso
para baixo determinam a aceleração vertical do centro.
(Estas são as duas equações pedidas em 3.a.)
Passo 4
Escrever a equação de rotação em torno do centro de massa
(soma dos momentos =
).
- Momento das reações em relação a
: - A reação
aplicada na extremidade superior gera um momento de módulo em torno de (braço perpendicular é ). - A reação
aplicada na extremidade inferior gera um momento de módulo em torno de (braço perpendicular é ). - O peso
aplicado em não produz momento em torno de .
- A reação
- Direção dos momentos: somamos os momentos algébricos com o sinal consistente; aqui escrevemos a equação de balanço escalar dos módulos (o sinal final para
aparecerá naturalmente). - Equação de rotação:
Explicação: o somatório dos momentos das reações em torno de
é igual a
. Esta é a equação pedida em 3.b.
Passo 5
Condições de contato (restrições geométricas) que permitem relacionar
e
.
- Para um corpo rígido, a aceleração de um ponto
é
- No instante inicial
, o último termo é nulo. Assim, a contribuição da rotação para a aceleração linear de um ponto reduz-se a . - Condições de contato iniciais (pontos nas superfícies não penetram as superfícies):
- Extremidade superior (contato com a parede vertical): a aceleração na direção normal à parede (horizontal) é zero. Usando a expressão vetorial, isso dá:
(o sinal vem do produto vetorial; escrevi na forma que relaciona com .) - Extremidade inferior (contato com o piso horizontal): a aceleração na direção normal ao piso (vertical) é zero, o que dá:
Explicação: essas duas equações são essenciais — elas representam as restrições geométricas de que a extremidade superior não se move para dentro/fora da parede e a extremidade inferior não penetra o piso no instante inicial.
Passo 6
Substituir as restrições nas equações de translação e rotação para eliminar
e
e obter uma equação apenas em
.
- Das equações de translação temos
e . - Usando as expressões de
e do passo anterior: - Substituir
e na equação de rotação: - Expansão e agrupamento em termos com
: Agrupando os termos que multiplicam : - Usando a identidade
, reescrevemos o denominador: - Substituindo
e simplificando (o fator cancela): Fatorando no denominador e simplificando:
Esta é a expressão geral da aceleração angular instantânea em função de
.
Passo 7
Verificação de consistência de sinais e interpretação:
- A expressão
é correta quando as convenções que usei (sinais nos momentos e nas restrições) são mantidas. Se
sair negativa isso indica que o ângulo
está diminuindo (a barra gira no sentido de reduzir
), o que é fisicamente esperado ao soltar a barra no caso usual
grande.
- Observe que a massa
desapareceu da expressão final (comportamento típico em problemas de dinâmica sem atrito: massa não influencia a aceleração angular inicial).
Passo 8
Lista explícita de todas as incógnitas do problema (3.c):
- Reações de contato:
-
= reação horizontal na parede (força). -
= reação vertical no piso (força).
-
- Componentes da aceleração do centro de massa:
-
= aceleração horizontal do centro de massa. -
= aceleração vertical do centro de massa.
-
- Aceleração angular:
-
= aceleração angular da barra (a incógnita que nos interessa em 3.d).
-
- (Parâmetros conhecidos/fornecidos):
(massa), (comprimento), (aceleração da gravidade), (ângulo inicial).
Passo 9
Determinar a aceleração angular inicial para
(3.d).
- Substitua
na fórmula: - Valores trigonométricos:
, . Portanto: - Interpretação: o sinal negativo indica que
diminui imediatamente (barra gira no sentido de cair). O valor absoluto é . - Se você quiser um valor numérico, substitua
e o comprimento . Por exemplo, para (caso a figura desse problema desse ) temos (mas só use esse número se de fato for o comprimento da barra no seu enunciado).
Resposta
3.a)
\
3.b)
, com
3.c) Incógnitas:
(parâmetros conhecidos:
)
3.d)