Considerando o conjunto dos números naturais e os seguintes predicados:
\mathbf{P}(\mathbf{x}) : x é par;
\mathbf{I}(\mathbf{x}) : x é ímpar;
\begin{aligned} & \mathbf{M a}(\mathbf{x}, \mathbf{y}): \text { x é maior que } y ; & \mathbf{M e}(\mathbf{x}, \mathbf{y}): x \text { é menor que } y ; \end{aligned}éé

Avalie as fórmulas como verdadeiras ou falsas:

\forall \mathrm{x}(\mathrm{P}(\mathrm{x}) \rightarrow \exists \mathrm{y}(\mathrm{I}(\mathrm{y}) \wedge \mathrm{Ma}(\mathrm{y}, \mathrm{x})))

Passo 1

O enunciado trabalha com o domínio \mathbb{N} e os predicados \,P(x): “ x é par”, \,I(x): “ x é ímpar”, \,\mathrm{Ma}(x,y): “ x>y”.
Precisa-se avaliar a verdade da fórmula
\forall x\bigl(P(x)\to\exists y\,(I(y)\wedge \mathrm{Ma}(y,x))\bigr).

Passo 2

Note que, para cada x\in\mathbb{N}, se P(x) é falsa (ou seja, x é ímpar), então a implicação
P(x)\to\exists y\,(I(y)\wedge \mathrm{Ma}(y,x))
é verdadeira automaticamente (verdade por vacuidade).

Passo 3

Resta verificar quando x é par. Nesse caso escolhemos
y = x + 1.
Como x é par, x+1 é ímpar, ou seja, I(x+1) vale. E claramente x+1>x, isto é, \mathrm{Ma}(x+1,x) vale.

Passo 4

Logo, para todo x\in\mathbb{N}:
  • se x é ímpar, a implicação é verdadeira por vacuidade;
  • se x é par, existe y=x+1 tal que I(y) e \mathrm{Ma}(y,x).
    Portanto a fórmula é satisfeita para todos os x.

Resposta

Verdadeira.

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