Considerando que, no conjunto solução da inequação – x² + 3x + 4 > 0, x é um número real (x ∈ R), a sentença que satisfaz a condição da inequação é { x ∈ R ∣
1 < x < 4 }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a inequação -x² + 3x + 4 > 0² e precisamos descobrir quais valores de x (números reais) satisfazem essa condição. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações quadráticas e entender como elas se comportam para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a inequação de uma forma mais familiar. A equação quadrática geral é ax² + bx + c². No nosso caso, temos:
- x² + 3x + 4 > 0 ²
Aqui, a = -1, b = 3 e c = 4.

Passo 3

Para resolver inequações quadráticas, precisamos encontrar as raízes da equação correspondente igualada a zero. Ou seja, vamos resolver:
- x² + 3x + 4 = 0 ²

Passo 4

Para encontrar as raízes, usamos o fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb² - 4ac2a ²
Substituindo os valores de a, b e c:
x = -3 pm raiz3² - 4*(-1)*42*(-1) = -3 pm raiz9 + 16-2 = -3 pm raiz25-2 ²
x = -3 pm 5-2

Passo 5

Calculando as duas soluções:
  1. -3 + 5-2 = 2-2 = -1
  2. -3 - 5-2 = -8-2 = 4
Então, as raízes são x = -1 e x = 4.

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal da inequação. Sabemos que o gráfico da equação quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de ² é -1 (negativo), a parábola abre para baixo.

Passo 7

Para saber onde a inequação -x² + 3x + 4 > 0² é verdadeira, observamos que a parábola está acima do eixo x entre as raízes. Ou seja, os valores de x que tornam a inequação verdadeira estão entre -1 e 4.

Passo 8

Portanto, a solução da inequação é:
-1 < x < 4

Resposta

boxed, -1 < x < 4 ,

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