A análise via Lugar das Raízes de um sistema de controle revelou que o ponto s1=-5+j 6,4 faz parte do diagrama de Lugar das Raízes deste sistema. Considerando uma equação característica padrão
1+K G(s)=0
para análise via Lugar das Raízes, constata-se que G(s) possui dois pólos e um zero, todos eles reais e distintos. Constatou-se também que:
I. O ganho necessário para impor s1 como uma raiz da equação característica em malha fechada é K=7;
II. O ângulo de um dos pólos é thetap1=133,2^circ, e seu módulo é rp1=8,77;
III. O ângulo do zero é thetaz=52^circ, e seu módulo é rz=8,12.
Qual é a localização do outro pólo?
a) s=-2
b) s=-3
c) s=-4
d) s=-5
e) s=-6

Passo 1

O exercício diz que no Lugar das Raízes de um sistema, o ponto
s1 = -5 + j,6,4
está na curva. A função tem dois polos reais distintos e um zero real distinto. Já sabemos de uma das raízes (pólo) que o vetor de até esse pólo forma ângulo e tem comprimento , e do zero temos , . Precisamos achar a localização do outro pólo real usando a regra do Lugar das Raízes:
– Condição de ângulo: soma dos ângulos dos polos menos soma dos ângulos dos zeros deve ser .
Conteúdo: Lugar das Raízes (condição de ângulo) e geometria vetorial em plano . Vamos usar arctangente para achar o ângulo faltante e depois solução pra coordenada real do pólo.

Passo 2

Aplicamos a condição de ângulo no ponto sum thetap ;-;sum thetaz ;=;(2k+1),180^circ :
thetap1 + thetap2 ;-;thetaz ;=;180^circ
Como temos dois polos ( 133,2^circ + thetap2 - 52^circ = 180^circ conhecido e desconhecido) e um zero ( ), para ficamos com
Substituindo os valores dados:

Passo 3

Isolando thetap2 = 180^circ - 133,2^circ + 52^circ = 98,8^circ :
Então o vetor de até o pólo deve formar ângulo de (no segundo quadrante, pois é > 90° e < 180°).

Passo 4

Agora expressamos esse vetor:
s1 p2 = p2 - s1 = l(xp2 - (-5)r) + j,(0 - 6,4) = (xp2+5) ;-; j,6,4
O ângulo desse vetor é
thetap2 = arctan!l(tfrac6,4|xp2+5|r)
mas, como sabemos que está no segundo quadrante, seu tan(98,8^circ) = -,tan(180-98,8^circ) = -tan(81,2^circ) approx -6,68 vale
l|xp2+5r| = 6,46,68 approx 0,958
Vamos usar o módulo:
xp2+5 = -,0,958 Longrightarrow xp2 = -5 - 0,958 = -5,958
E, como (segundo quadrante), temos

Passo 5

O valor de boxed-6 é aproximadamente . Comparando com as opções dadas (todas números inteiros), o que mais se aproxima é

Resposta

A localização do outro pólo é (alternativa e).

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