A análise via Lugar das Raízes de um sistema de controle revelou que o ponto faz parte do diagrama de Lugar das Raízes deste sistema. Considerando uma equação característica padrão
para análise via Lugar das Raízes, constata-se que possui dois pólos e um zero, todos eles reais e distintos. Constatou-se também que:
I. O ganho necessário para impor como uma raiz da equação característica em malha fechada é ;
II. O ângulo de um dos pólos é , e seu módulo é ;
III. O ângulo do zero é , e seu módulo é .
Qual é a localização do outro pólo?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O exercício diz que no Lugar das Raízes de um sistema, o ponto
está na curva. A função tem dois polos reais distintos e um zero real distinto. Já sabemos de uma das raízes (pólo) que o vetor de até esse pólo forma ângulo e tem comprimento , e do zero temos , . Precisamos achar a localização do outro pólo real usando a regra do Lugar das Raízes:
– Condição de ângulo: soma dos ângulos dos polos menos soma dos ângulos dos zeros deve ser .
Conteúdo: Lugar das Raízes (condição de ângulo) e geometria vetorial em plano . Vamos usar arctangente para achar o ângulo faltante e depois solução pra coordenada real do pólo.
Passo 2
Aplicamos a condição de ângulo no ponto :
Como temos dois polos ( conhecido e desconhecido) e um zero (), para ficamos com
Substituindo os valores dados:
Passo 3
Isolando :
Então o vetor de até o pólo deve formar ângulo de (no segundo quadrante, pois é > 90° e < 180°).
Passo 4
Agora expressamos esse vetor:
O ângulo desse vetor é
thetap2 = arctan!l(tfrac6,4|xp2+5|r)
mas, como sabemos que está no segundo quadrante, seu tan(98,8^circ) = -,tan(180-98,8^circ) = -tan(81,2^circ) approx -6,68 vale