Considerando uma densidade de corrente
\overrightarrow{\mathcal{J}}=2 x y \hat{\mathbf{i}}-y^{2} \hat{\mathbf{j}}+4 z \hat{\mathbf{k}}
e um volume V delimitado por y^{2}+z^{2}=9, x=0 e x=2, calcule
\int_{V} \nabla \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}} d V
tanto diretamente quanto mediante o teorema da divergência, e interprete fisicamente o resultado da integral.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de corrente
\overrightarrow{\mathcal{J}}=2 x y \,\hat{\mathbf{i}}-y^{2}\,\hat{\mathbf{j}}+4 z\,\hat{\mathbf{k}}
e o volume V é o cilindro reto de eixo paralelo a x, limitado por \;y^{2}+z^{2}=9\; (círculo de raio 3 no plano yz) e pelas planos \;x=0\; e \;x=2\;.\n
O que nos pedem:\n
  1. Calcular \displaystyle \int_{V} \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV diretamente (ou seja, computando \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}} e integrando sobre o volume).\n
  2. Calcular o mesmo integral usando o teorema da divergência (ou seja, como fluxo de \overrightarrow{\mathcal{J}} através da superfície fechada que limita V).\n
  3. Interpretar fisicamente o resultado (o que significa esse número em termos de corrente/fonte).

Passo 2

Calcular \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}} (a divergência) passo a passo.\n
Definição: para \overrightarrow{\mathcal{J}}=(J_x,J_y,J_z), \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=\dfrac{\partial J_x}{\partial x}+\dfrac{\partial J_y}{\partial y}+\dfrac{\partial J_z}{\partial z}. Aqui
J_x=2xy,\qquad J_y=-y^2,\qquad J_z=4z.
Calculemos as derivadas parciais:\n
\frac{\partial J_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,
\frac{\partial J_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-y^2)=-2y,
\frac{\partial J_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(4z)=4.
Somando,
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=2y-2y+4=4.
Observação pedagógica: deu uma constante! Isso simplifica muito a integração sobre o volume: a divergência é igual a 4 em todo o volume.

Passo 3

Integração direta da divergência sobre V.\n
Como \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=4 constante, temos
\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV=4\int_{V}dV=4\cdot \text{Vol}(V).
O volume V é um cilindro de raio 3 e comprimento (extensão em x) igual a 2-0=2. A área da base é \pi r^2=\pi\cdot 3^2=9\pi. Logo
\text{Vol}(V)=\text{(área da base)}\times\text{altura}=9\pi\cdot 2=18\pi.á
Portanto
\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV=4\cdot 18\pi=72\pi.

Passo 4

Usando o teorema da divergência (fluxo pela superfície fechada).\n
Enunciado do teorema (lembrando): para um volume V limitado por uma superfície fechada orientada para fora \partial V,
\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV=\oint_{\partial V}\overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS,
onde \hat{\mathbf{n}} é o vetor normal unitário saindo do volume.\n
A superfície \partial V é composta por três partes: a superfície lateral do cilindro ( S_{\text{lat}}, onde y^{2}+z^{2}=9), e as duas tampas planas em x=0 ( S_{0}) e em x=2 ( S_{2}). Vamos calcular o fluxo em cada uma e somar.
a) Fluxo pelas tampas S_{0} e S_{2}.\n
  • Para a tampa em x=2: o normal externo é \hat{\mathbf{n}}=+\hat{\mathbf{i}}. Então
\Phi_{x=2}=\iint_{y^{2}+z^{2}\le 9} \overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot\hat{\mathbf{i}}\,dA =\iint_{D} J_x\,dA =\iint_{D} 2xy\Big|_{x=2}\,dA =\iint_{D} 4y\,dA,
onde D é o disco y^{2}+z^{2}\le 9. Mas a função y é ímpar em relação ao eixo z e o disco é simétrico; portanto \iint_{D} y\,dA=0. Assim \Phi_{x=2}=0.
  • Para a tampa em x=0: o normal externo é \hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{i}}. Aqui J_x=2xy com x=0 é 0, logo \Phi_{x=0}=0.
b) Fluxo pela superfície lateral S_{\text{lat}}.\n
Parametrização mais conveniente: use coordenadas cilíndricas no plano yz com raio fixo r=3. Escrevemos
y=3\cos\theta,\qquad z=3\sin\theta,\qquad x\in[0,2],\qquad \theta\in[0,2\pi].
O vetor normal unitário exterior à superfície lateral é \hat{\mathbf{n}}=(0,\cos\theta,\sin\theta) e o elemento de área é dS= ( \text{raio} )\,d\theta\,dx = 3\,d\theta\,dx.\n
Avalie \overrightarrow{\mathcal{J}} na superfície lateral:\n
J_x=2x y=2x(3\cos\theta)=6x\cos\theta,
J_y=-y^2=-(3\cos\theta)^2=-9\cos^2\theta,
J_z=4z=4(3\sin\theta)=12\sin\theta.
Como \hat{\mathbf{n}}=(0,\cos\theta,\sin\theta), o produto escalar é
\overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=J_y\cos\theta+J_z\sin\theta=-9\cos^3\theta+12\sin^2\theta.
Então o fluxo lateral é
\Phi_{\text{lat}}=\int_{x=0}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi} \big(-9\cos^3\theta+12\sin^2\theta\big)\, (3\,d\theta\,dx).
Ponha o 3 dentro:
\Phi_{\text{lat}}=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi} \big(-27\cos^3\theta+36\sin^2\theta\big)\,d\theta\,dx.
Agora integramos em \theta. Usamos duas propriedades trigonométricas/integrais padrão sobre um período completo [0,2\pi]: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta=0 (função ímpar em torno de vários eixos) e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi (pois a média de \sin^2 é 1/2, então a integral sobre 2\pi é 2\pi\cdot\tfrac12=\pi). Assim
\int_{0}^{2\pi}\big(-27\cos^3\theta+36\sin^2\theta\big)\,d\theta= -27\cdot 0 +36\cdot \pi =36\pi.
Portanto
\Phi_{\text{lat}}=\int_{0}^{2} 36\pi\,dx =36\pi\cdot 2 =72\pi.
c) Soma dos fluxos pelas superfícies:\n
\oint_{\partial V}\overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS=\Phi_{x=0}+\Phi_{x=2}+\Phi_{\text{lat}}=0+0+72\pi=72\pi.
Isso coincide com a integração direta feita antes, conforme o teorema da divergência exige.

Passo 5

Interpretação física (didática e direta):\n
  • A divergência \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=4 significa que, em cada ponto do volume, há uma “taxa volumétrica” de saída de corrente igual a 4 (unidades de corrente por unidade de volume). Em outras palavras, cada pequeno volume age como fonte líquida de corrente — há mais corrente saindo do que entrando localmente.\n
  • A integral \displaystyle\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV=72\pi é o fluxo líquido total de corrente saindo do volume V: é o total de corrente (por unidade de tempo, se pensamos nisso como corrente) que sai do interior através da superfície fechada.\n
  • Relação com a equação de continuidade: \partial\rho/\partial t + \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=0. Se estivermos num regime onde não há geração/aniquilação de carga (apenas movimento), normalmente esperaríamos \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=0 para estado estacionário. Aqui \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\neq 0 indica que ou há fontes/afluxos de carga internos (geração ou consumo de carga) ou a densidade de carga está variando no tempo dentro do volume.\n
    Em resumo: há um fluxo líquido saindo do volume de magnitude 72\pi, decorrente da divergência positiva constante 4 no volume.

Resposta

\displaystyle \int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV=72\pi\n
Interpretação: o fluxo líquido total de corrente saindo do volume é 72\pi; a divergência positiva constante ( 4) indica fontes internas de corrente (ou variação temporal da densidade de carga segundo a equação de continuidade).

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