\overrightarrow{\mathcal{J}}=2 x y \hat{\mathbf{i}}-y^{2} \hat{\mathbf{j}}+4 z \hat{\mathbf{k}}
e um volume V delimitado por y^{2}+z^{2}=9, x=0 e x=2, calcule
\int_{V} \nabla \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}} d V
tanto diretamente quanto mediante o teorema da divergência, e interprete fisicamente o resultado da integral.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de corrente
\overrightarrow{\mathcal{J}}=2 x y \,\hat{\mathbf{i}}-y^{2}\,\hat{\mathbf{j}}+4 z\,\hat{\mathbf{k}}
e o volume V é o cilindro reto de eixo paralelo a x, limitado por \;y^{2}+z^{2}=9\; (círculo de raio 3 no plano yz) e pelas planos \;x=0\; e \;x=2\;.\n
O que nos pedem:\n
Calcular \displaystyle \int_{V} \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV diretamente (ou seja, computando \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}} e integrando sobre o volume).\n
Calcular o mesmo integral usando o teorema da divergência (ou seja, como fluxo de \overrightarrow{\mathcal{J}} através da superfície fechada que limita V).\n
Interpretar fisicamente o resultado (o que significa esse número em termos de corrente/fonte).
Passo 2
Calcular \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}} (a divergência) passo a passo.\n
Definição: para \overrightarrow{\mathcal{J}}=(J_x,J_y,J_z), \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=\dfrac{\partial J_x}{\partial x}+\dfrac{\partial J_y}{\partial y}+\dfrac{\partial J_z}{\partial z}. Aqui
Usando o teorema da divergência (fluxo pela superfície fechada).\n
Enunciado do teorema (lembrando): para um volume V limitado por uma superfície fechada orientada para fora \partial V,
onde \hat{\mathbf{n}} é o vetor normal unitário saindo do volume.\n
A superfície \partial V é composta por três partes: a superfície lateral do cilindro (S_{\text{lat}}, onde y^{2}+z^{2}=9), e as duas tampas planas em x=0 (S_{0}) e em x=2 (S_{2}). Vamos calcular o fluxo em cada uma e somar.
a) Fluxo pelas tampas S_{0} e S_{2}.\n
Para a tampa em x=2: o normal externo é \hat{\mathbf{n}}=+\hat{\mathbf{i}}. Então
onde D é o disco y^{2}+z^{2}\le 9. Mas a função y é ímpar em relação ao eixo z e o disco é simétrico; portanto \iint_{D} y\,dA=0. Assim \Phi_{x=2}=0.
Para a tampa em x=0: o normal externo é \hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{i}}. Aqui J_x=2xy com x=0 é 0, logo \Phi_{x=0}=0.
b) Fluxo pela superfície lateral S_{\text{lat}}.\n
Parametrização mais conveniente: use coordenadas cilíndricas no plano yz com raio fixo r=3. Escrevemos
O vetor normal unitário exterior à superfície lateral é \hat{\mathbf{n}}=(0,\cos\theta,\sin\theta) e o elemento de área é dS= ( \text{raio} )\,d\theta\,dx = 3\,d\theta\,dx.\n
Avalie \overrightarrow{\mathcal{J}} na superfície lateral:\n
J_x=2x y=2x(3\cos\theta)=6x\cos\theta,
J_y=-y^2=-(3\cos\theta)^2=-9\cos^2\theta,
J_z=4z=4(3\sin\theta)=12\sin\theta.
Como \hat{\mathbf{n}}=(0,\cos\theta,\sin\theta), o produto escalar é
Agora integramos em \theta. Usamos duas propriedades trigonométricas/integrais padrão sobre um período completo [0,2\pi]: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta=0 (função ímpar em torno de vários eixos) e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi (pois a média de \sin^2 é 1/2, então a integral sobre 2\pi é 2\pi\cdot\tfrac12=\pi). Assim
Isso coincide com a integração direta feita antes, conforme o teorema da divergência exige.
Passo 5
Interpretação física (didática e direta):\n
A divergência \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=4 significa que, em cada ponto do volume, há uma “taxa volumétrica” de saída de corrente igual a 4 (unidades de corrente por unidade de volume). Em outras palavras, cada pequeno volume age como fonte líquida de corrente — há mais corrente saindo do que entrando localmente.\n
A integral \displaystyle\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV=72\pi é o fluxo líquido total de corrente saindo do volume V: é o total de corrente (por unidade de tempo, se pensamos nisso como corrente) que sai do interior através da superfície fechada.\n
Relação com a equação de continuidade: \partial\rho/\partial t + \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=0. Se estivermos num regime onde não há geração/aniquilação de carga (apenas movimento), normalmente esperaríamos \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}=0 para estado estacionário. Aqui \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\neq 0 indica que ou há fontes/afluxos de carga internos (geração ou consumo de carga) ou a densidade de carga está variando no tempo dentro do volume.\n
Em resumo: há um fluxo líquido saindo do volume de magnitude 72\pi, decorrente da divergência positiva constante 4 no volume.
Resposta
\displaystyle \int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}}\,dV=72\pi\n
Interpretação: o fluxo líquido total de corrente saindo do volume é 72\pi; a divergência positiva constante (4) indica fontes internas de corrente (ou variação temporal da densidade de carga segundo a equação de continuidade).