Considerando que a durabilidade
, em meses, de uma peça mecânica siga uma distribuição exponencial com média igual a 4 meses. Determine:
A probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente durar mais 3 meses;
A probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente durar mais 3 meses;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Dado: a durabilidade
(em meses) segue uma distribuição exponencial com média igual a meses. - Pedido: calcular a probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente durar mais
meses, isto é, encontrar .
Passo 2
Entender a distribuição exponencial (de forma prática, sem formalismo pesado). Para a exponencial usamos duas funções importantes:
- A função densidade de probabilidade (pdf) escreve-se em geral como
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui
representa tempo (meses) e
dá a densidade naquele instante.
- A função sobrevivência (ou função de cauda), que dá a probabilidade de durar mais que um tempo
, é
Nesta fórmula,
é a mesma taxa da pdf e
é o tempo que estamos testando (aqui
). Vou usar essa fórmula porque é a forma direta de obter
.
Passo 3
Usar a informação da média para encontrar
. Para a exponencial vale
O enunciado diz que
meses, então
Passo 4
Aplicar a fórmula da sobrevivência para
. Temos
Substituindo
:
Passo 5
Mostrar rapidamente a integração que leva à fórmula
, para ficar bem claro:
Isto confirma o que usamos no passo anterior.
Passo 6
Dar o valor numérico aproximado (útil na prova). Calculando a exponencial:
Interpretação: cerca de
das peças durarão mais de
meses.
Passo 7
Comentário útil para prova (motivação e dica): a exponencial é “memoryless” — isso significa que a probabilidade de durar mais
meses adicionalmente, dado que já sobreviveu
meses, é a mesma que a de uma peça nova durar mais
meses. Em fórmulas:
Isso costuma aparecer em questões de confiabilidade; lembrar disso pode agilizar respostas.