Considerando que a durabilidade D, em meses, de uma peça mecânica siga uma distribuição exponencial com média igual a 4 meses. Determine:
A probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente durar mais 3 meses;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Dado: a durabilidade D (em meses) segue uma distribuição exponencial com média igual a 4 meses.
  • Pedido: calcular a probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente durar mais 3 meses, isto é, encontrar P(D>3).

Passo 2

Entender a distribuição exponencial (de forma prática, sem formalismo pesado). Para a exponencial usamos duas funções importantes:
  • A função densidade de probabilidade (pdf) escreve-se em geral como
f(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui t representa tempo (meses) e f(t) dá a densidade naquele instante.
  • A função sobrevivência (ou função de cauda), que dá a probabilidade de durar mais que um tempo t, é
P(D>t)=\int_{t}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = e^{-\lambda t}.
Nesta fórmula, \lambda é a mesma taxa da pdf e t é o tempo que estamos testando (aqui t=3). Vou usar essa fórmula porque é a forma direta de obter P(D>t).

Passo 3

Usar a informação da média para encontrar \lambda. Para a exponencial vale
\mathbb{E}[D]=\frac{1}{\lambda}.
O enunciado diz que \mathbb{E}[D]=4 meses, então
\frac{1}{\lambda}=4 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 4

Aplicar a fórmula da sobrevivência para t=3. Temos
P(D>3)=e^{-\lambda\cdot 3}.
Substituindo \lambda=0,25:
P(D>3)=e^{-0,25\cdot 3}=e^{-0,75}.

Passo 5

Mostrar rapidamente a integração que leva à fórmula P(D>t)=e^{-\lambda t}, para ficar bem claro:
P(D>t)=\int_{t}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]_{x=t}^{x=\infty}=0-(-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}.
Isto confirma o que usamos no passo anterior.

Passo 6

Dar o valor numérico aproximado (útil na prova). Calculando a exponencial:
e^{-0,75}\approx 0,47237.
Interpretação: cerca de 47,2\% das peças durarão mais de 3 meses.

Passo 7

Comentário útil para prova (motivação e dica): a exponencial é “memoryless” — isso significa que a probabilidade de durar mais s meses adicionalmente, dado que já sobreviveu t meses, é a mesma que a de uma peça nova durar mais s meses. Em fórmulas:
P(D>t+s\mid D>t)=P(D>s).
Isso costuma aparecer em questões de confiabilidade; lembrar disso pode agilizar respostas.

Resposta

P(D>3)=e^{-3/4}\approx 0,47237

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