Considerando a entalpia específica h, como função de T e p, mostre que:
a) \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{p}=c_{p} onde c_{p} é o calor específico a pressão constante.
b) c_{p}-c_{v}=-\left[\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T}-v\right]\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} onde c_{v} é o calor específico a volume constante.
c) Mostre que para um processo isotérmico d^{\prime} q=\left[\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T}-v\right] d p. O que significa tal resultado?
d) Mostre que para um processo adiabático c_{p}\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{s}=-\left[\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T}-v\right]

Passo 1

O enunciado trata da entalpia específica h(T,p) e pede:
– (a) mostrar \bigl(\partial h/\partial T\bigr)_{p}=c_{p}, onde c_{p}=T(\partial s/\partial T)_{p}.
– (b) obter c_{p}-c_{v}=-\bigl[(\partial h/\partial p)_{T}-v\bigr](\partial p/\partial T)_{v}.
– (c) para processo isotérmico, mostrar d'q=\bigl[(\partial h/\partial p)_{T}-v\bigr]\,dp.
– (d) para processo adiabático, mostrar c_{p}(\partial T/\partial p)_{s}=-\bigl[(\partial h/\partial p)_{T}-v\bigr].
Usaremos a relação fundamental
dh = T\,ds + v\,dp
as definições de c_{p},c_{v} e as relações de Maxwell.

Passo 2

Para (a) fixamos p dp=0 em
dh = T\,ds + v\,dp
Logo,
dh\big|_{p} = T\,ds\big|_{p}
e tomando derivada em relação a T a p constante vem
\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{p} = T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p} = c_{p}.

Passo 3

Para (b) escrevemos
c_{p}-c_{v} = T\Bigl[\bigl(\partial s/\partial T\bigr)_{p} - \bigl(\partial s/\partial T\bigr)_{v}\Bigr].
Pela regra de cadeia
c_{p}-c_{v} = T \bigl(\partial s/\partial p\bigr)_{T}\,\bigl(\partial p/\partial T\bigr)_{v}.
Pela relação de Maxwell \bigl(\partial s/\partial p\bigr)_{T}=-\bigl(\partial v/\partial T\bigr)_{p} e da derivada de h a T fixo
\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} + v = -T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} + v,
logo
-\,T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} = \left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} - v.
Substituindo em c_{p}-c_{v} resulta
c_{p}-c_{v} = -\bigl[(\partial h/\partial p)_{T} - v\bigr]\,\bigl(\partial p/\partial T\bigr)_{v}.

Passo 4

Para (c) num processo isotérmico dT=0. Do primeiro princípio para entalpia de fluxo
d'h = dh = T\,ds + v\,dp,
e o calor trocado é d'q = T\,ds. Então
d'q = dh - v\,dp = \Bigl(\bigl(\partial h/\partial p\bigr)_{T} - v\Bigr)\,dp.
Isto mostra que, mantendo T constante, o calor requerido para elevar a pressão vem da diferença entre (\partial h/\partial p)_{T} e v.

Passo 5

Para (d) num processo adiabático ds=0. Da relação
dh = T\,ds + v\,dp
vem dh = v\,dp. Por outro lado, em geral
dh = c_{p}\,dT + \bigl(\partial h/\partial p\bigr)_{T}\,dp.
Comparando,
c_{p}\,dT = \bigl[v - (\partial h/\partial p)_{T}\bigr]\,dp
e, como s é constante,
c_{p}\Bigl(\frac{\partial T}{\partial p}\Bigr)_{s} = -\Bigl[(\partial h/\partial p)_{T} - v\Bigr].

Resposta

(a) \displaystyle\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{p}=c_{p}.
(b) \displaystyle c_{p}-c_{v}=-\Bigl[(\partial h/\partial p)_{T}-v\Bigr]\bigl(\partial p/\partial T\bigr)_{v}.
(c) Em isoterma, \displaystyle d'q=\bigl[(\partial h/\partial p)_{T}-v\bigr]\,dp.
(d) Em adiabático, \displaystyle c_{p}\bigl(\partial T/\partial p\bigr)_{s}=-\bigl[(\partial h/\partial p)_{T}-v\bigr].

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