Considerando as equações diferenciais a seguir, determine a ordem e a linearidade:
x^2 y^prime prime+e^x y^prime=ln x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
x^2y'' + e^xy' = ln x
determinando sua ordem e se é linear ou não. Para isso, vamos lembrar que:
  • A ordem de uma equação é a ordem da maior derivada que aparece.
  • Uma equação é linear se y, y', y'', ··· aparecem apenas em grau 1 (sem produtos entre si, sem funções não lineares de y, etc.).

Passo 2

Para achar a ordem, identificamos a maior derivada presente na equação. Aqui aparecem y'' e y', e a maior é y''.
Logo, a ordem é 2.

Passo 3

Para verificar a linearidade, olhamos como y, y' e y'' aparecem:
  • Temos x^2y'' e e^xy', cada termo é uma função de x multiplicando a derivada correspondente, sem potências ou produtos entre y ou suas derivadas.
  • Não há termos como (y')^2, sin(y), y,y'' etc.
  • O membro direito ln x é apenas uma função de x.
Portanto, a equação é linear (mas não homogênea, já que o termo independente é ln x).

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: equação linear de segunda ordem (não homogênea)

Exercícios relacionados