Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
lim (x, y) (0,0) raizx+3-raiz3raizx y+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da função
lim (x, y) (0,0) raizx+3-raiz3raizx y+x
Quando lidamos com limites de funções de várias variáveis, como este que envolve x e y tendendo a zero, estamos dentro do ramo de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando x e y se aproximam de zero de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar nossa análise. Olha só o numerador, raizx+3 - raiz3. Podemos racionalizar essa diferença de raízes usando a identidade:
raiza - raizb = a - braiza + raizb
Aplicando isso, temos:
raizx+3 - raiz3 = (x+3) - 3raizx+3 + raiz3 = xraizx+3 + raiz3
Então, agora nossa expressão fica:
raizx+3-raiz3raizx y+x = xraizx+3 + raiz3raizx(y + 1)

Passo 3

Vamos simplificar ainda mais. O denominador raizx(y + 1) pode ser reescrito como raizx cdot raizy + 1. Então, temos:
xraizx+3 + raiz3raizx cdot raizy + 1 = xraizx cdot (raizx+3 + raiz3) cdot raizy + 1 = raizxraizx+3 + raiz3 cdot 1raizy + 1

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando x e y tendem a zero.
  • raizx tende a zero conforme x 0.
  • raizx+3 + raiz3 tende a 2raiz3, já que raizx+3 raiz3.
  • raizy + 1 tende a 1, pois y + 1 1.
Então, substituindo esses limites na expressão simplificada:
raizx2raiz3 cdot 11 = raizx2raiz3
Como raizx 0 quando x 0, todo o termo tende a zero.

Resposta

O limite da função é igual a zero:
lim (x, y) (0,0) raizx+3-raiz3raizx y+x = 0

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