Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da função
Quando lidamos com limites de funções de várias variáveis, como este que envolve
e
tendendo a zero, estamos dentro do ramo de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando
e
se aproximam de zero de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar nossa análise. Olha só o numerador,
. Podemos racionalizar essa diferença de raízes usando a identidade:
Aplicando isso, temos:
Então, agora nossa expressão fica:
Passo 3
Vamos simplificar ainda mais. O denominador
pode ser reescrito como
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
e
tendem a zero.
-
tende a zero conforme . -
tende a , já que . -
tende a 1, pois .
Então, substituindo esses limites na expressão simplificada:
Como
quando
, todo o termo tende a zero.
Resposta
O limite da função é igual a zero: