Considerando as equações governantes da dinâmica de Ekman e a equação da continuidade abaixo, derive a expressão do bombeamento de Ekman (w), a qual é dada em termos do rotacional das tensões do vento.
Obs: para tal, escreva as velocidades, nos termos de atrito vertical, em função das tensões turbulentas do vento em superfície e, em seguida, calcule o rotacional dessas equações.
\begin{gathered} f v+A_{V} \frac{d^{2} u}{d z^{2}}=0 \\\\ -f u+A_{V} \frac{d^{2} v}{d z^{2}}=0 \\\ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \end{gathered}

Passo 1

O objetivo é obter a velocidade vertical de bombeamento de Ekman, w\), em termos do rotacional das tensões de vento \(\tau_x,\tau_y\). Para isso usamos as equações de Ekman (força de Coriolis equilibrada pelo atrito vertical) \[\begin{cases} f\,v + A_V \,\dfrac{d^2 u}{dz^2} = 0,\\\\ -\,f\,u + A_V \,\dfrac{d^2 v}{dz^2} = 0, \end{cases}
e a equação da continuidade
\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} = 0.
Vamos primeiro relacionar u,v\] com as tensões de vento na superfície, depois tomar o rotacional das equações de Ekman e integrar em \(z para encontrar w na base da camada de Ekman.

Passo 2

Na condição de contorno inferior (superfície), as tensões turbulentas do vento estão ligadas ao atrito vertical por
\tau_x \;=\;\rho\,A_V\;\biggl.\dfrac{\partial u}{\partial z}\biggr|_{z=0}, \qquad \tau_y \;=\;\rho\,A_V\;\biggl.\dfrac{\partial v}{\partial z}\biggr|_{z=0}.
Isso nos permite expressar os gradientes verticais \partial u/\partial z e \partial v/\partial z em termos de \tau_x,\tau_y.

Passo 3

Formamos o rotacional horizontal das equações de Ekman: aplicamos \partial/\partial x na segunda equação e \partial/\partial y na primeira, e somamos. Isso dá
\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-f\,u + A_V\,\tfrac{d^2v}{dz^2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(f\,v + A_V\,\tfrac{d^2u}{dz^2}\bigr)=0 \\\ \Rightarrow\;& -f\;\frac{\partial u}{\partial x} +f\;\frac{\partial v}{\partial y} + A_V\;\frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(\tfrac{d^2v}{dz^2}\bigr) + A_V\;\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(\tfrac{d^2u}{dz^2}\bigr) =0. \end{aligned}
Reagrupando e usando
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial w}{\partial z}
(obtido da continuidade) e definindo a vorticidade horizontal
\zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}, ficamos com
f\;\bigl(-\tfrac{\partial w}{\partial z}\bigr) \;=\; A_V\;\frac{\partial^2}{\partial z^2}\,\zeta.

Passo 4

Integramos em z de 0 (superfície) a \infty. Como w(\infty)=0 e supomos que \zeta e seu gradiente vertical também vão a zero com z\to\infty, obtemos
\int_{0}^{\infty} \!f\bigl(-\tfrac{\partial w}{\partial z}\bigr)\,dz \;=\; \int_{0}^{\infty} A_V\,\tfrac{\partial^2\zeta}{\partial z^2}\,dz
\Rightarrow\; f\,w(0) \;=\; A_V\;\bigl.\tfrac{\partial \zeta}{\partial z}\bigr|_{z=0}.

Passo 5

Avalia-se \partial\zeta/\partial z na superfície usando
\tfrac{\partial \zeta}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\tfrac{\partial v}{\partial x}-\tfrac{\partial u}{\partial y}\Bigr) =\frac{1}{\rho\,A_V}\Bigl(\tfrac{\partial\tau_y}{\partial x}-\tfrac{\partial\tau_x}{\partial y}\Bigr).
Logo
f\,w(0) =\;A_V\,\frac{1}{\rho\,A_V}\Bigl(\tfrac{\partial\tau_y}{\partial x}-\tfrac{\partial\tau_x}{\partial y}\Bigr) \;\;\Longrightarrow\;\; w(0) =\frac{1}{\rho\,f}\Bigl(\tfrac{\partial\tau_y}{\partial x}-\tfrac{\partial\tau_x}{\partial y}\Bigr).

Resposta

A velocidade de bombeamento de Ekman na base da camada é
\boxed{\,w_E \;=\;\frac{1}{\rho\,f}\,\bigl(\nabla\times\boldsymbol{\tau}\bigr)_z \;=\; \frac{1}{\rho\,f}\Bigl(\tfrac{\partial\tau_y}{\partial x}-\tfrac{\partial\tau_x}{\partial y}\Bigr)\,.}

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