Explique como se forma a espiral de Ekman de fundo no hemisfério sul. Ilustre sua explicação representando, esquematicamente, as forças atuantes nesse processo, o campo de velocidade e o transporte resultante.

Passo 1

O enunciado pede para explicar como surge a espiral de Ekman no fundo do oceano no hemisfério sul, identificando e esquematizando as forças que atuam a cada profundidade, o perfil do campo de velocidades e qual é o transporte líquido de água. O conteúdo chave é a camada de Ekman de fundo, que envolve o balanço entre gradiente de pressão (que gera a corrente geostrófica acima), a força de Coriolis e o atrito viscoso junto ao fundo.

Passo 2

Em regime permanente e em coordenadas planas, a corrente geostrófica acima da camada de Ekman satisfaz
f\,\mathbf{k}\times \mathbf{U}_g \;=\; -\frac{1}{\rho}\nabla p
onde \mathbf{U}_g é o vetor velocidade geostrófico (por exemplo, dirigido para Leste), f<0 no hemisfério sul, \rho é a densidade e \nabla p o gradiente de pressão que impulsiona esse escoamento. Imediatamente acima do limite viscoso de fundo não há atrito, mas conforme descemos, o atrito passa a importar.

Passo 3

Na camada de Ekman de fundo, a equação de momento reduz a
f\,\mathbf{k}\times \mathbf{u}(z) \;=\; \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial \boldsymbol{\tau}(z)}{\partial z}
onde \mathbf{u}(z) é a velocidade horizontal em profundidade z (medida positiva para cima, z=0 no fundo) e \boldsymbol{\tau}(z) é a tensão de cisalhamento vertical. No fundo existe atrito máximo (alta |\partial \tau/\partial z|) e mais acima ele decai até zero no topo da camada de Ekman.
Esquematicamente, num nível intermediário ( 0<z<\delta_E) as forças ficam assim:
N
\mathbf{F}_C = f\,\mathbf{k}\times \mathbf{u}
|
W ←——+——→ \mathbf{F}_P = -\frac{1}{\rho}\nabla p
|
\mathbf{F}_\text{fric} = \frac{1}{\rho}\,\partial_z\boldsymbol{\tau}
Aqui:
  • \mathbf{F}_P (gradiente de pressão) aponta para Leste.
  • \mathbf{F}_C (Coriolis) fica à esquerda de \mathbf{u}, ou seja, aponta para Sul se \mathbf{u} tiver componente Leste.
  • \mathbf{F}_\text{fric} (atrito viscoso) aponta contra o gradiente de tensão, isto é, oposto à direção local da corrente.

Passo 4

Dessa maneira, a cada nível z a velocidade local \mathbf{u}(z) ajusta-se de modo que a soma vetorial de \mathbf{F}_C(z) e \mathbf{F}_\text{fric}(z) equilibre \mathbf{F}_P. Como \partial_z\boldsymbol{\tau} é máximo junto ao fundo e decresce exponencialmente com z, a magnitude de \mathbf{u}(z) aumenta para cima, e sua direção gira lentamente no sentido anti-horário (sentido negativo de rotação, pois f<0). O perfil típico é
|\mathbf{u}(z)| \propto \bigl(1 - e^{\,z/\delta_E}\bigr), \qquad \arg \mathbf{u}(z)\;\text{vai girando anti-horário ao subir}á
Esquema qualitativo do campo de velocidade (visto de lado, com cima para \,z>0,):
\begin{array}{l} z=\delta_E:\quad\longrightarrow\text{ (corrente próxima da geostrófica, Leste)}\\\ \\ \\ \downarrow\\\ z=\delta_E/2:\quad\nearrow\;\text{(vetor maior, girado ligeiramente para N-Leste)}\\\ \\ \\ \downarrow\\\ z\approx 0:\quad\uparrow\;\text{(vetor pequeno, quase para Norte, pois ali o atrito domina)} \end{array}óó

Passo 5

O transporte de Ekman de fundo \mathbf{M}_E é a integral vertical da corrente de Ekman
\mathbf{M}_E=\int_{z=0}^{z=\delta_E}\rho\,\mathbf{u}(z)\,\mathrm{d}z.
Devido à rotação anti-horária do vetor velocidade com z, o vetor resultante fica defletido exatamente 90^\circ para a esquerda da corrente geostrófica. Se \mathbf{U}_g aponta para Leste, \mathbf{M}_E ficará apontado para Norte.

Resposta

A espiral de Ekman de fundo no hemisfério sul forma-se porque o atrito viscoso no fundo desacelera a corrente, fazendo com que em cada nível intermédio a força de Coriolis (sempre à esquerda da velocidade) mais a força de atrito equilibrem o gradiente de pressão (Leste). A velocidade cresce em módulo e gira anti-horário à medida que se afasta do fundo, produzindo um transporte líquido de Ekman dirigido 90^\circ à esquerda da corrente geostrófica (isto é, para Norte se a geostrófica for Leste).

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