Considerando o escoamento completamente desenvolvido em tubos, analise as afirmativas a seguir. (0,50 pontos)
I - Para escoamento laminar, o fator de atrito é função do número de Reynolds, apenas.
II - Para escoamento turbulento, o fator de atrito é independente da rugosidade.
III - O número de Reynolds pode ser mudado, com facilidade, variando a velocidade média do escoamento.
IV - O gradiente de velocidade na parede do tubo é muito menor para o escoamento turbulento do que para o escoamento laminar.
Está correto apenas o que se afirma em
a) I e II
b) b) I e III
c) II e III
d) III e IV
e) I, II e IV
Passo 1
O enunciado nos dá quatro afirmações sobre escoamento completamente desenvolvido em tubos e pede para identificar quais estão corretas. As afirmações são:
I - Para escoamento laminar, o fator de atrito é função do número de Reynolds, apenas.
II - Para escoamento turbulento, o fator de atrito é independente da rugosidade.
III - O número de Reynolds pode ser mudado, com facilidade, variando a velocidade média do escoamento.
IV - O gradiente de velocidade na parede do tubo é muito menor para o escoamento turbulento do que para o escoamento laminar.
A tarefa é dizer quais dessas afirmações são verdadeiras e qual alternativa (a, b, c, d ou e) corresponde à combinação correta.
Passo 2
Primeiro, preciso explicar o que é o fator de atrito e como ele se relaciona com o escoamento laminar.
O número de Reynolds é definido por
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_m\,D}{\mu},
onde \rho é a massa específica do fluido, U_m é a velocidade média no tubo, D é o diâmetro do tubo e \mu é a viscosidade dinâmica. Esse número mede a razão entre forças inerciais e viscosas.
O fator de atrito de Darcy (chamado aqui apenas de f) é uma medida adimensional que aparece na fórmula de perda de carga de Darcy–Weisbach. Para escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular há uma expressão exata simples:
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Essa relação é deduzida da solução de Poiseuille para escoamento laminar no tubo (perfil parabólico) e é válida enquanto o escoamento permanecer laminar.
Comentário didático: a expressão f=64/\mathrm{Re} significa que, no regime laminar, o fator de atrito depende apenas de \mathrm{Re} (e não da rugosidade do tubo). Isso ocorre porque, em escoamento laminar, o transporte de momento é dominado por viscosidade molecular, e as irregularidades da parede não controlam o atrito como no caso turbulento.
Passo 3
Análise da afirmação I:
I diz: “Para escoamento laminar, o fator de atrito é função do número de Reynolds, apenas.”
Como mostrado, para tubo circular e escoamento laminar completamente desenvolvido vale \;f=64/\mathrm{Re}\;.
Essa fórmula não envolve a rugosidade relativa \epsilon/D nem outros parâmetros de superfície.
Conclusão: a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Agora eu explico como o fator de atrito se comporta no regime turbulento, para analisar a afirmação II.
No regime turbulento o fator de atrito depende tanto de \mathrm{Re} quanto da rugosidade relativa \epsilon/D (onde \epsilon é a altura média das asperezas da parede). Uma relação empírica/implícita muito usada é a equação de Colebrook–White:
Em regimes de \mathrm{Re} muito alto, entra-se na faixa “fully rough” onde o termo com \mathrm{Re} fica desprezível e f depende apenas de \epsilon/D. Em faixas intermediárias há dependência de ambos \mathrm{Re} e \epsilon/D.
Conclusão: a afirmação II (“Para escoamento turbulento, o fator de atrito é independente da rugosidade”) é falsa — na verdade, o fator de atrito no turbulento depende geralmente da rugosidade (salvo condições muito específicas, por exemplo em certos regimes muito particulares, mas não de modo geral).
Passo 5
Análise da afirmação III sobre mudar o número de Reynolds:
III diz: “O número de Reynolds pode ser mudado, com facilidade, variando a velocidade média do escoamento.”
Pela definição \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U_m D}{\mu}, para um fluido e um tubo fixos (\rho,\\ D,\\ \mu constantes) a maneira mais direta e prática de alterar \mathrm{Re} é mudar U_m.
Essa é, de fato, a forma usual e fácil de controlar \mathrm{Re} em ensaios e em laboratório: aumentar ou diminuir a vazão altera linearmente \mathrm{Re}.
Conclusão: a afirmação III é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação IV sobre o gradiente de velocidade na parede:
IV diz: “O gradiente de velocidade na parede do tubo é muito menor para o escoamento turbulento do que para o escoamento laminar.”
Vou comparar quantitativamente o gradiente na parede nos dois regimes (pressupondo mesma velocidade média U_m para comparação).
Para escoamento laminar totalmente desenvolvido (Poiseuille) no tubo circular o perfil é parabólico: u(r)=U_{\max}\bigl(1-(r/R)^2\bigr) e U_m=U_{\max}/2. O gradiente radial na parede (r=R) é
Magnitude do gradiente: \left|\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right|_{w,\text{laminar}}=\dfrac{4U_m}{R}.
Para qualquer regime (laminar ou turbulento) a tensão de cisalhamento na parede é \tau_w=\mu\left.\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right|_w. Também existe a relação com o fator de atrito de Darcy:
\tau_w=\frac{f}{8}\,\rho\,U_m^2.
Assim, o gradiente na parede pode ser escrito como
No caso laminar, usando f=64/\mathrm{Re} e \mathrm{Re}=\rho U_m D/\mu, obtém-se exatamente o valor anterior \dfrac{4U_m}{R}.
No regime turbulento, f costuma ser bem maior do que 64/\mathrm{Re} (quando \mathrm{Re} excede a faixa laminar), o que implica \tau_w maior e, portanto, \left.\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right|_w maior do que no caso laminar, para a mesma U_m.
Interpretação física e conclusão: o escoamento turbulento tem uma camada limite viscosa muito fina junto à parede (subcamada viscosa) e, para transportar o mesmo fluxo médio, a parede “vê” um cisalhamento maior — logo o gradiente de velocidade na parede é geralmente maior no turbulento do que no laminar. Portanto a afirmação IV, que diz que o gradiente é muito menor no turbulento, é falsa.
Passo 7
Resumindo as conclusões:
I: verdadeira.
II: falsa.
III: verdadeira.
IV: falsa.
Das opções dadas, a combinação correta é I e III, que corresponde à alternativa (b).