Considerando a força dada por
\mathbf{F}=\left(x^{2}-2 x y\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(x^{2} y+3\right) \hat{\mathbf{j}}
e a região definida por y^{2}=8 x e x=2, calcule a circulação de \mathbf{F} tanto diretamente quanto através do teorema de Green. F e conservativa?

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
\mathbf{F}=\left(x^{2}-2 x y\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(x^{2}y+3\right)\hat{\mathbf{j}}
e a região limitada pela parábola \;y^{2}=8x\; e pela reta vertical \;x=2\;. Perguntas: calcular a circulação de \mathbf{F} ao longo da fronteira dessa região (ou seja, o integral de linha fechado \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}), primeiro diretamente (parametrizando as curvas) e depois usando o teorema de Green; e dizer se \mathbf{F} é conservativa. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componentes do campo: P(x,y)=x^{2}-2xy e Q(x,y)=x^{2}y+3.
  • A região R é o conjunto dos pontos entre a parábola x=\dfrac{y^{2}}{8} (lado esquerdo) e a reta x=2 (lado direito). As interseções são obtidas impondo x=2 em y^{2}=8x, dando y^{2}=16 e, portanto, pontos (2,4) e (2,-4).
  • A fronteira C é composta de duas curvas: C_{1} (reta vertical) e C_{2} (porção da parábola). Vamos adotar orientação positiva (contra-horária, isto é, trajetória que deixa a região sempre à esquerda).

Passo 2

Breve aula sobre circulação, parametrização e o teorema de Green (passo necessário para entender os cálculos).
  • Circulação (integral de linha fechado): \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} mede quanto o campo “gira” ao longo da fronteira C. Se escrevemos \mathbf{F}=P\,\hat{\mathbf{i}}+Q\,\hat{\mathbf{j}} e parametrizamos C por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) com t variando em algum intervalo, então \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}\big(P\,dx+Q\,dy\big)=\int_{t_0}^{t_1}\big(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\big)\,dt.Aqui dx=x'(t)dt e dy=y'(t)dt.
  • Teorema de Green (caso plano, região simples, fronteira orientada positivamente): transforma a circulação ao longo da fronteira C=\partial R em uma integral dupla sobre a região R: \oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.Nesta fórmula, \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} são as derivadas parciais de Q e P.
  • Dica prática para aplicar Green: calcular primeiro a função integranda \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}, depois descrever a região R com limites convenientes (aqui será conveniente integrar em y de -4 a 4 e, para cada y, x vai de x=\dfrac{y^{2}}{8} até x=2).

Passo 3

Aplicando o teorema de Green: calculemos as derivadas parciais que aparecem na fórmula.
  • P(x,y)=x^{2}-2xy então \frac{\partial P}{\partial y}=-2x.
  • Q(x,y)=x^{2}y+3 então \frac{\partial Q}{\partial x}=2xy.
  • Logo o integrando de Green é \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2xy-(-2x)=2x(y+1).

Passo 4

Descrever a região R para montar a integral dupla.
  • Como vimos no Passo 1, y varia de -4 até 4.
  • Para cada y fixo, x varia de x=\dfrac{y^{2}}{8} (parábola, lado esquerdo) até x=2 (reta vertical, lado direito).
  • Portanto, pela ordem dx\,dy, \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{R}2x(y+1)\,dA=\int_{y=-4}^{4}\int_{x=\frac{y^{2}}{8}}^{2}2x(y+1)\,dx\,dy.

Passo 5

Calcule a integral dupla em x (integração interna).
  • Integramos em x: \int_{x=\frac{y^{2}}{8}}^{2}2x(y+1)\,dx=(y+1)\int_{\frac{y^{2}}{8}}^{2}2x\,dx=(y+1)\big[x^{2}\big]_{x=\frac{y^{2}}{8}}^{2}.
  • Avaliando os extremos: x^{2}\Big|_{x=2}=4,\qquad x^{2}\Big|_{x=\frac{y^{2}}{8}}=\frac{y^{4}}{64}.
  • Portanto a integral interna é (y+1)\left(4-\frac{y^{4}}{64}\right).

Passo 6

Agora integramos em y de -4 a 4.
  • A integral total é \int_{-4}^{4}(y+1)\left(4-\frac{y^{4}}{64}\right)\,dy.
  • Separe em duas partes: \int_{-4}^{4}4(y+1)\,dy-\frac{1}{64}\int_{-4}^{4}y^{4}(y+1)\,dy.
  • Primeiro termo: \int_{-4}^{4}4(y+1)\,dy=4\big(\int_{-4}^{4}y\,dy+\int_{-4}^{4}1\,dy\big). O primeiro integral é zero (função ímpar em intervalo simétrico), o segundo é 8. Logo o primeiro termo é 4\cdot 8=32.
  • Segundo termo: \int_{-4}^{4}y^{4}(y+1)\,dy=\int_{-4}^{4}y^{5}\,dy+\int_{-4}^{4}y^{4}\,dy. O primeiro é zero (ímpar), o segundo é 2\int_{0}^{4}y^{4}\,dy=2\cdot\frac{4^{5}}{5}= \frac{2048}{5}.
  • Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{64} obtemos \dfrac{1}{64}\cdot \dfrac{2048}{5}=\dfrac{2048}{320}=\dfrac{32}{5}.
  • Subtraindo: 32-\dfrac{32}{5}=\dfrac{160-32}{5}=\dfrac{128}{5}.

Passo 7

Conclusão via Green: a circulação (com orientação positiva) vale
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{128}{5}.
Agora vamos verificar fazendo o cálculo direto (parametrizando as duas curvas da fronteira) — isso também é importante para aprender a fazer na prova.

Passo 8

Parametrização direta de C (dividida em duas partes). Adotamos orientação positiva (contra-horária):
  • Curva C_{1}: reta vertical x=2 indo de (2,-4) a (2,4). Parametrização: \mathbf{r}_{1}(t)=(2,t),\qquad t\in[-4,4].Assim dx=0, dy=dt.
  • Curva C_{2}: porção da parábola x=\dfrac{y^{2}}{8} que liga (2,4) a (2,-4). Parametrização conveniente usando y=s: \mathbf{r}_{2}(s)=\left(\frac{s^{2}}{8},\,s\right),\qquad s\in[4,-4].Note que escolhemos s de 4 para -4 para que a orientação junto com C_{1} seja positiva (subimos em C_{1} e depois seguimos por C_{2} do topo de volta ao ponto inicial).

Passo 9

Integral ao longo de C_{1}.
  • Em C_{1} temos x=2,\\ y=t. Então P(2,t)=4-4t,\qquad Q(2,t)=4t+3.
  • O elemento de linha dá dx=0,\\ dy=dt, logo \int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy=\int_{t=-4}^{4}(4t+3)\,dt.
  • Calculando: \int_{-4}^{4}(4t+3)\,dt=\big[2t^{2}+3t\big]_{-4}^{4}=(32+12)- (32-12)=44-20=24.
  • Logo \displaystyle \int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=24.

Passo 10

Integral ao longo de C_{2} (parábola).
  • Em C_{2} com s variável temos x=\dfrac{s^{2}}{8},\\ y=s. Então dx=\frac{s}{4}\,ds,\qquad dy=ds.
  • Calcule P e Q nessa parametrização: P\big(\tfrac{s^{2}}{8},s\big)=\left(\frac{s^{2}}{8}\right)^{2}-2\cdot\frac{s^{2}}{8}\cdot s=\frac{s^{4}}{64}-\frac{s^{3}}{4},
Q\big(\tfrac{s^{2}}{8},s\big)=\left(\frac{s^{2}}{8}\right)^{2}s+3=\frac{s^{5}}{512}+3.
  • Então o integrando é P\,dx+Q\,dy=\left(\frac{s^{4}}{64}-\frac{s^{3}}{4}\right)\cdot\frac{s}{4}\,ds+\left(\frac{s^{5}}{512}+3\right)\,ds.Simplificando: =\left(\frac{s^{5}}{256}-\frac{s^{4}}{16}+\frac{s^{5}}{512}+3\right)\,ds =\left(\frac{3s^{5}}{512}-\frac{s^{4}}{16}+3\right)\,ds.
  • Integrar de s=4 até s=-4: \int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{4}^{-4}\left(\frac{3s^{5}}{512}-\frac{s^{4}}{16}+3\right)\,ds.
  • Observações: o termo com s^{5} é ímpar e sua integral em [-4,4] é zero; o termo -\dfrac{s^{4}}{16} é par; e 3 é constante.
  • Primeiro calcule a integral em [-4,4] (trocaremos depois os limites): \int_{-4}^{4}\left(\frac{3s^{5}}{512}-\frac{s^{4}}{16}+3\right)\,ds =0-\frac{1}{16}\int_{-4}^{4}s^{4}\,ds+3\cdot 8.E \displaystyle \int_{-4}^{4}s^{4}\,ds= \frac{2048}{5} (como no passo anterior).
  • Portanto o valor em [-4,4] é -\frac{1}{16}\cdot\frac{2048}{5}+24=-\frac{128}{5}+24=-\frac{8}{5}.
  • Como temos limites de 4 para -4, trocamos o sinal: \int_{4}^{-4}\left(\cdots\right)\,ds=-\left(-\frac{8}{5}\right)=\frac{8}{5}.
  • Assim \displaystyle \int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{8}{5}.

Passo 11

Soma das partes e verificação.
  • Soma das contribuições: \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_{1}}+\int_{C_{2}}=24+\frac{8}{5}=\frac{120+8}{5}=\frac{128}{5}.
  • Este valor coincide com o resultado obtido pelo teorema de Green ( \dfrac{128}{5}), conforme esperado.

Passo 12

Resposta sobre conservatividade (aula curta).
  • Um campo planar \mathbf{F}=P\,\hat{\mathbf{i}}+Q\,\hat{\mathbf{j}} é conservativo (num domínio simplesmente conectado) se e somente se \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em toda a região considerada.
  • Aqui já calculamos: \frac{\partial P}{\partial y}=-2x,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=2xy.Essas duas expressões não são iguais em geral (por exemplo, para x\neq 0 e y\neq -1 elas diferem). Logo \mathbf{F} não é conservativa.

Resposta

\displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\dfrac{128}{5}
\mathbf{F} não é conservativa (pois \partial Q/\partial x=2xy\neq\partial P/\partial y=-2x).

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