Considerando a função f(x)=2 x^2+3 x-4, resolva as questões 1 a 3 .
(1,4) 1. Usando o conceito inicial de derivada de uma função num ponto qualquer do seu domínio, determine a expressão da derivada da função em qualquer xo pertencente ao seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a derivada de
f(x) = 2x^2 + 3x - 4
num ponto genérico x0, usando a definição de derivada como limite do quociente incremental. O conteúdo aqui é aplicação direta da definição inicial de derivada.

Passo 2

Pela definição,
f'(x0) = limhto0 f(x0 + h) - f(x0)h

Passo 3

Primeiro, calculamos f(x0 + h) e f(x0) e simplificamos a diferença:
f(x0 + h) = 2(x0+h)^2 + 3(x0+h) - 4 = 2x0^2 + 4x0 h + 2h^2 + 3x0 + 3h - 4,
f(x0) = 2x0^2 + 3x0 - 4
Logo,
f(x0 + h) - f(x0) = l(2x0^2 + 4x0 h + 2h^2 + 3x0 + 3h - 4r) - l(2x0^2 + 3x0 - 4r) = 4x0 h + 2h^2 + 3h = h,(4x0 + 2h + 3)

Passo 4

Substituindo no quociente incremental e fazendo o limite:
f(x0 + h) - f(x0)h = h,(4x0 + 2h + 3)h = 4x0 + 2h + 3,
f'(x0) = limhto0 l(4x0 + 2h + 3r) = 4x0 + 3

Resposta

f'(x0) = 4x0 + 3

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