Considerando a função f(x) = -x^3/3 + 3/2 x^2 - 2 x + 5/6.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função e pediu para encontrar os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o conceito de segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função , que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada de é:
Isso foi feito aplicando a regra de derivação para potências de .

Passo 3

Agora, precisamos da segunda derivada, que nos dirá sobre a concavidade. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Isso nos mostra como a inclinação da função está mudando.

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe. Vamos resolver:
Então, é o candidato a ponto de inflexão.

Passo 5

Para confirmar que é um ponto de inflexão, verificamos se a concavidade realmente muda ao redor desse ponto. Escolhemos valores de menores e maiores que .
  • Se , por exemplo :
Isso indica concavidade para cima.
  • Se , por exemplo :
Isso indica concavidade para baixo.

Passo 6

Como a concavidade muda de cima para baixo passando por , confirmamos que é realmente um ponto de inflexão.

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em .
  • Para , a função é côncava para cima.
  • Para , a função é côncava para baixo.

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