Determine o comprimento de arco da hélice gerada por r(t) = (cos(t), t), sen(t) para t in [0, 5*pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o comprimento de arco de uma hélice definida pela função vetorial no intervalo de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no tópico de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais e calcular as derivadas componentes da função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por no intervalo a <= t <= b. A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a t, e representa o módulo dessa derivada, ou seja, a velocidade instantânea da curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função vetorial . Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que é dado por:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Sabemos que , uma identidade trigonométrica básica. Substituindo isso na expressão:
Isso significa que a velocidade da hélice é constante e igual a .

Passo 6

Agora, vamos voltar à fórmula do comprimento de arco:
Como raiz(2) é uma constante, podemos simplificar a integral:

Resposta

O comprimento de arco da hélice no intervalo de 0 a é unidades.

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