Considerando a função f(x) = -x^3/3 + 3/2 x^2 - 2 x + 5/6.
Identifique os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente;

Passo 1

Então, a gente tem que analisar a função para descobrir onde ela está aumentando e onde está diminuindo. Isso envolve usar cálculo, especificamente derivadas, pra ver a taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada, , nos mostra como a função está mudando em cada ponto. Se for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos achar os valores de onde , esses são os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Fatorando:
Então, e são os pontos críticos.

Passo 4

Vamos agora verificar o sinal de em cada intervalo determinado pelos pontos críticos e :
  1. Intervalo :
    Escolhemos :
    Então, a função está decrescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolhemos :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    Escolhemos :
    Então, a função está decrescente nesse intervalo.

Resposta

A função é crescente no intervalo e decrescente nos intervalos e .

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