Considerando que uma massa de 1500 kg de um fluido ocupa um volume de 2 \mathrm{~m}^{3}. determine:
O peso específico \gamma. Faça também a análise dimensional.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Massa: m = 1500\\ \mathrm{kg}.
  • Volume: V = 2\\ \mathrm{m^{3}}.
O que se pede:
  • Determinar o peso específico \gamma do fluido.
  • Fazer a análise dimensional de \gamma.

Passo 2

O que é peso específico?
  • O peso específico \gamma é o peso (força da gravidade) por unidade de volume. A definição matemática é
\gamma=\frac{W}{V},
onde W é o peso (força) e V é o volume.
O que é o peso W?
  • O peso é a força resultante da gravidade sobre a massa e vale
W=m\,g,
onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade. Usaremos g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão perto da superfície da Terra).

Passo 3

Calcular o peso W:
W = m\,g = 1500\cdot 9,81\\ \mathrm{N}.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
1500\cdot 9,81 = 1500\cdot(9 + 0,81) = 1500\cdot 9 + 1500\cdot 0,81 = 13500 + 1215 = 14715.
Logo
W = 14715\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Agora calculamos o peso específico \gamma usando \gamma=W/V:
\gamma=\frac{W}{V}=\frac{14715}{2}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Dividindo:
\frac{14715}{2}=7357,5.
Portanto
\gamma = 7357,5\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Observação alternativa (útil em provas): usar densidade \rho. Como \rho=m/V,
\rho=\frac{1500}{2}=750\\ \mathrm{kg/m^{3}},
e como \gamma=\rho g,
\gamma=750\cdot 9,81 = 7357,5\\ \mathrm{N/m^{3}},
mesmo resultado.

Passo 5

Análise dimensional de \gamma.
Partimos de \gamma=\dfrac{W}{V}=\dfrac{m g}{V}.
  • Dimensão de m é M.
  • Dimensão de g é L\,T^{-2}.
  • Dimensão de V é L^{3}.
Assim,
[\gamma]=\frac{M\cdot (L\,T^{-2})}{L^{3}}=M\,L^{-2}\,T^{-2}.
Análise em unidades do SI:
\mathrm{N/m^{3}}=\frac{\mathrm{kg\cdot m/s^{2}}}{\mathrm{m^{3}}}=\mathrm{kg\;m^{-2}\;s^{-2}}.
Outra forma de ver: \mathrm{N/m^{3}}=(\mathrm{N/m^{2}})/\mathrm{m}=\mathrm{Pa/m}.

Passo 6

Resumo prático: cálculo direto por W=mg e \gamma=W/V ou pelo atalho \gamma=\rho g com \rho=m/V. Mantém sempre atenção às unidades para evitar erro.

Resposta

\gamma = 7357{,}5\\ \mathrm{N/m^{3}}
Dimensão: [\gamma]=M\,L^{-2}\,T^{-2} (unidades: \mathrm{kg\;m^{-2}\;s^{-2}}=\mathrm{N/m^{3}})

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