3^{\mathrm{a}} QUESTÃO (VALOR: 3 PONTOS)

Uma vazão de 0,35 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de mercúrio líquido deve ser aquecida de 300 a 375 K ao ser passada em tubo com 30 mm de diâmetro, cuja superfície é mantida a 450 K . Determine o comprimento de tubo necessário para que esse aquecimento ocorra. As propriedades do mercúrio nessas condições são:
\begin{gathered} \rho=13,407 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}, \quad C_{P}=0,1377 \frac{\mathrm{~kJ}}{\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~K}}, \quad \mu=0,1309 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N} \cdot \frac{\mathrm{~s}}{\mathrm{~m}^{2}} \\ k=9180 \cdot 10^{-3} \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m} \cdot \mathrm{~K}} \text { e } \operatorname{Pr}=0,0196 \end{gathered}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (peguei todos esses valores do problema):
    • Vazão mássica: \dot{m}=0,35\\ \mathrm{kg/s}.
    • Diâmetro do tubo: D=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura de entrada do mercúrio (fluido): T_i=300\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura de saída desejada: T_o=375\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da superfície do tubo (temperatura de parede constante): T_w=450\\ \mathrm{K}.
    • Propriedades do mercúrio (fornecidas): \rho=13{,}407\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad C_P=0{,}1377\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad \mu=0{,}1309\cdot10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2},
k=9180\cdot10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad \mathrm{Pr}=0{,}0196.
  • Converto para unidades SI usuais:
    C_P=0{,}1377\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=137{,}7\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \qquad k=9180\cdot10^{-3}=9{,}18\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • O que é pedido:
    • Determinar o comprimento do tubo L necessário para que o mercúrio aqueça de T_i até T_o, com a parede mantida em T_w.

Passo 2

Calcular a velocidade média do fluido no tubo. Fórmula e razão:
  • Área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Velocidade média:
V=\frac{\dot{m}}{\rho A}.
Faço as contas passo a passo:
A=\frac{\pi (0{,}03)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}000225=0{,}000706858347\\ \mathrm{m^2}.
V=\frac{0{,}35}{13{,}407\cdot 0{,}000706858347} =\frac{0{,}35}{9{,}47685\ldots} \approx 0{,}03693\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: a vazão mássica dividida pela massa por volume que atravessa a seção dá a velocidade média.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e classificar o escoamento.
  • Fórmula do número de Reynolds para escoamento interno:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{13{,}407\cdot 0{,}03693\cdot 0{,}03}{0{,}1309\cdot 10^{-3}} \approx 1{,}14\times 10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 1{,}14\cdot 10^{5} é muito maior que 4000, portanto o escoamento é turbulento. Isso orienta a escolha da correlação para o número de Nusselt.

Passo 4

Escolher uma correlação para o número de Nusselt \mathrm{Nu} (convecção interna turbulenta) e justificar.
  • Para escoamento interno turbulento costuma-se usar uma correlação empírica do tipo Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\\ \mathrm{Re}^{0{,}8}\\ \mathrm{Pr}^{0{,}4}.
Explicação didática: \mathrm{Nu} relaciona transferência de calor por convecção com condução por \mathrm{Nu}=hD/k. A correlação Dittus–Boelter é empiricamente válida para escoamentos internos turbulentos e é de aplicação prática comum. Observação: formalmente algumas correlações têm restrições em \mathrm{Pr}, e mercúrio tem \mathrm{Pr}\ll 1; ainda assim, muitos exercícios usam Dittus–Boelter como aproximação prática para metais líquidos. Vou usar essa correlação, avisando que é uma aproximação adequada para estimativas.
Calcular \mathrm{Nu}:
\mathrm{Nu}=0{,}023\cdot (1{,}1357\times10^{5})^{0{,}8}\cdot (0{,}0196)^{0{,}4} \approx 53{,}15.
(Detalhe numérico: calc. de \mathrm{Re}^{0{,}8} e \mathrm{Pr}^{0{,}4} feito com logaritmos; resultado aproximado mostrado.)

Passo 5

Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção h.
  • Relação entre \mathrm{Nu}, h, k e D:
\mathrm{Nu}=\frac{hD}{k}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
Substituindo valores:
h=\frac{53{,}15\cdot 9{,}18}{0{,}03}\approx 1{,}6236\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação: h é a “força” com que a parede aquece o fluido por unidade de área e diferença de temperatura.

Passo 6

Montar o balanço energético no fluido ao longo do tubo e integrar para obter L.
  • Considere um elemento de comprimento dx do tubo. A taxa de calor transferida da parede para esse elemento é
d\dot{Q}=h\,P\,dx\,(T_w-T_b(x)),
onde P é o perímetro interno do tubo e T_b(x) é a temperatura média (bulk) do fluido no local x. Para um tubo circular:
P=\pi D.
  • O aumento de energia do fluido nesse elemento relaciona-se com a variação de temperatura:
d\dot{Q}=\dot{m}C_P\,dT_b.
  • Igualando:
\dot{m}C_P\,dT_b=hP(T_w-T_b)\,dx.
  • Reorganizando e separando variáveis:
\frac{dT_b}{T_w-T_b}=\frac{hP}{\dot{m}C_P}\,dx.
  • Integro de x=0 (onde T_b=T_i) até x=L (onde T_b=T_o):
\int_{T_i}^{T_o}\frac{dT_b}{T_w-T_b}=\int_{0}^{L}\frac{hP}{\dot{m}C_P}\,dx.
  • A integral do lado esquerdo dá um logaritmo:
\ln\!\left(\frac{T_w-T_i}{T_w-T_o}\right)=\frac{hP}{\dot{m}C_P}\,L.
  • Isolando L:
L=\frac{\dot{m}C_P}{hP}\,\ln\!\left(\frac{T_w-T_i}{T_w-T_o}\right).
Agora calculo numericamente tudo:
  • Perímetro:
P=\pi D=\pi\cdot 0{,}03=0{,}0942478\\ \mathrm{m}.
  • Produto \dot{m}C_P:
\dot{m}C_P=0{,}35\cdot 137{,}7=48{,}195\\ \mathrm{W/K}.
  • Argumento do logaritmo:
\frac{T_w-T_i}{T_w-T_o}=\frac{450-300}{450-375}=\frac{150}{75}=2.
  • Finalmente:
L=\frac{48{,}195}{1{,}6236\times10^{4}\cdot 0{,}0942478}\ln(2) =\frac{48{,}195}{1{,}5299\times10^{3}}\cdot 0{,}693147\ldots \approx 0{,}0218\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o comprimento necessário é muito pequeno (da ordem de centímetros) porque o mercúrio tem alta condutividade térmica e o coeficiente convectivo calculado é grande.

Resposta

L\approx 0{,}0218\\ \mathrm{m} (aproximadamente 2{,}18\\ \mathrm{cm}).

Exercícios relacionados