QUESTÃO (VALOR: 3 PONTOS)
Uma vazão de
de mercúrio líquido deve ser aquecida de 300 a 375 K ao ser passada em tubo com 30 mm de diâmetro, cuja superfície é mantida a 450 K . Determine o comprimento de tubo necessário para que esse aquecimento ocorra. As propriedades do mercúrio nessas condições são:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do enunciado (peguei todos esses valores do problema):
- Vazão mássica:
. - Diâmetro do tubo:
. - Temperatura de entrada do mercúrio (fluido):
. - Temperatura de saída desejada:
. - Temperatura da superfície do tubo (temperatura de parede constante):
. - Propriedades do mercúrio (fornecidas):
- Vazão mássica:
-
Converto para unidades SI usuais:
-
O que é pedido:
- Determinar o comprimento do tubo
necessário para que o mercúrio aqueça de até , com a parede mantida em .
- Determinar o comprimento do tubo
Passo 2
Calcular a velocidade média do fluido no tubo. Fórmula e razão:
- Área da seção transversal do tubo:
- Velocidade média:
Faço as contas passo a passo:
Explicação curta: a vazão mássica dividida pela massa por volume que atravessa a seção dá a velocidade média.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds e classificar o escoamento.
- Fórmula do número de Reynolds para escoamento interno:
onde
é a densidade,
a velocidade média,
o diâmetro e
a viscosidade dinâmica.
Substituindo os valores:
Interpretação:
é muito maior que
, portanto o escoamento é turbulento. Isso orienta a escolha da correlação para o número de Nusselt.
Passo 4
Escolher uma correlação para o número de Nusselt
(convecção interna turbulenta) e justificar.
- Para escoamento interno turbulento costuma-se usar uma correlação empírica do tipo Dittus–Boelter:
Explicação didática:
relaciona transferência de calor por convecção com condução por
. A correlação Dittus–Boelter é empiricamente válida para escoamentos internos turbulentos e é de aplicação prática comum. Observação: formalmente algumas correlações têm restrições em
, e mercúrio tem
; ainda assim, muitos exercícios usam Dittus–Boelter como aproximação prática para metais líquidos. Vou usar essa correlação, avisando que é uma aproximação adequada para estimativas.
Calcular
:
(Detalhe numérico: calc. de
e
feito com logaritmos; resultado aproximado mostrado.)
Passo 5
Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção
.
- Relação entre
, , e :
Substituindo valores:
Interpretação:
é a “força” com que a parede aquece o fluido por unidade de área e diferença de temperatura.
Passo 6
Montar o balanço energético no fluido ao longo do tubo e integrar para obter
.
- Considere um elemento de comprimento
do tubo. A taxa de calor transferida da parede para esse elemento é
onde
é o perímetro interno do tubo e
é a temperatura média (bulk) do fluido no local
. Para um tubo circular:
- O aumento de energia do fluido nesse elemento relaciona-se com a variação de temperatura:
- Igualando:
- Reorganizando e separando variáveis:
- Integro de
(onde ) até (onde ):
- A integral do lado esquerdo dá um logaritmo:
- Isolando
:
Agora calculo numericamente tudo:
- Perímetro:
- Produto
:
- Argumento do logaritmo:
- Finalmente:
Interpretação: o comprimento necessário é muito pequeno (da ordem de centímetros) porque o mercúrio tem alta condutividade térmica e o coeficiente convectivo calculado é grande.