A pergunta específica que vamos resolver aqui é a do item (b): calcular \,D - I_{2}.]
Passo 2
Identificar as dimensões das matrizes envolvidas (isso é crucial antes de tentar operar).
A matriz D tem 3 linhas e 2 colunas, portanto \dim(D)=3\times2.
Isso é visto porque D está escrita comoD=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]3 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},ou seja, três linhas (cada linha entre parênteses) e duas colunas.
A notação I_{2} representa a matriz identidade de ordem 2, que tem dimensão 2\times2 e éI_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},portanto \dim(I_{2})=2\times2.]
Passo 3
Relembrar a regra para subtração de matrizes (aula rápida e essencial).
A subtração de matrizes X-Y só está definida quando as duas matrizes têm exatamente a mesma dimensão. Em notação:
se X\in\mathbb{R}^{m\times n} e Y\in\mathbb{R}^{m\times n}, então X-Y\in\mathbb{R}^{m\times n} e a operação é feita elemento a elemento:(X-Y)_{ij}=X_{ij}-Y_{ij}\quad\text{para todo }i=1,\dots,m,\;j=1,\dots,n.
Se as dimensões são diferentes (por exemplo uma é 3\times2 e outra 2\times2), não existe correspondência um a um entre entradas e, portanto, a operação não é definida.
Passo 4
Aplicar a regra aos nossos casos.
Temos \dim(D)=3\times2 e \dim(I_{2})=2\times2.
Como as dimensões são diferentes, não existe correspondência entre as entradas de D e as de I_{2}, logo a subtração \,D-I_{2}\, não está definida.
Passo 5
Observação prática e alternativa (para fixar o conceito): se a intenção fosse subtrair da matriz D uma matriz identidade compatível em dimensões, seria necessário usar uma matriz 3\times2 (mas a identidade só existe quadrada); assim, a operação só é possível se ambas forem, por exemplo, duas matrizes 3\times2 iguais em dimensão. Não se deve tentar “completar” ou “ajustar” dimensões sem uma definição explícita porque isso mudaria o problema.
Resposta
Não é possível efetuar \,D-I_{2}\,, pois \dim(D)=3\times2 e \dim(I_{2})=2\times2; a subtração de matrizes exige que ambas tenham a mesma dimensão.