Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(b) D-I_{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se possível, a expressão (b) \,D - I_{2}\,. As matrizes fornecidas no enunciado são:
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]3 & 1 & 0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]3 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta específica que vamos resolver aqui é a do item (b): calcular \,D - I_{2}.]

Passo 2

Identificar as dimensões das matrizes envolvidas (isso é crucial antes de tentar operar).
  • A matriz D tem 3 linhas e 2 colunas, portanto \dim(D)=3\times2.
    Isso é visto porque D está escrita como D=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]3 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},ou seja, três linhas (cada linha entre parênteses) e duas colunas.
  • A notação I_{2} representa a matriz identidade de ordem 2, que tem dimensão 2\times2 e é I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},portanto \dim(I_{2})=2\times2.]

Passo 3

Relembrar a regra para subtração de matrizes (aula rápida e essencial).
  • A subtração de matrizes X-Y só está definida quando as duas matrizes têm exatamente a mesma dimensão. Em notação:
    se X\in\mathbb{R}^{m\times n} e Y\in\mathbb{R}^{m\times n}, então X-Y\in\mathbb{R}^{m\times n} e a operação é feita elemento a elemento: (X-Y)_{ij}=X_{ij}-Y_{ij}\quad\text{para todo }i=1,\dots,m,\;j=1,\dots,n.
  • Se as dimensões são diferentes (por exemplo uma é 3\times2 e outra 2\times2), não existe correspondência um a um entre entradas e, portanto, a operação não é definida.

Passo 4

Aplicar a regra aos nossos casos.
  • Temos \dim(D)=3\times2 e \dim(I_{2})=2\times2.
  • Como as dimensões são diferentes, não existe correspondência entre as entradas de D e as de I_{2}, logo a subtração \,D-I_{2}\, não está definida.

Passo 5

Observação prática e alternativa (para fixar o conceito): se a intenção fosse subtrair da matriz D uma matriz identidade compatível em dimensões, seria necessário usar uma matriz 3\times2 (mas a identidade só existe quadrada); assim, a operação só é possível se ambas forem, por exemplo, duas matrizes 3\times2 iguais em dimensão. Não se deve tentar “completar” ou “ajustar” dimensões sem uma definição explícita porque isso mudaria o problema.

Resposta

Não é possível efetuar \,D-I_{2}\,, pois \dim(D)=3\times2 e \dim(I_{2})=2\times2; a subtração de matrizes exige que ambas tenham a mesma dimensão.

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