Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(b) B^{T}-A

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (coloquei exatamente os números que vieram no enunciado):
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right]
A questão (item b) pede para calcular:
B^{T}-A

Passo 2

Verificar se a operação é possível e relembrar definições úteis.
  • Dimensões: A é 2\times2 e B é 2\times2. A subtração de matrizes M-N só é possível quando M e N têm a mesma dimensão. Como B e A têm a mesma dimensão, a operação é possível depois de obter B^{T}.
  • Definição de transposta: para qualquer matriz M, a transposta M^{T} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de elementos, (M^{T})_{ij}=M_{ji}.
  • Como B é 2\times2, sua transposta B^{T} também será 2\times2.

Passo 3

Calcular B^{T} usando (B^{T})_{ij}=B_{ji}.
Identificando os elementos de B:
B=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right],
logo b_{11}=1, b_{12}=2, b_{21}=3, b_{22}=-1.
Aplicando a regra:
B^{T}=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{21} \\\ b_{12} & b_{22} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right].
(Exemplo rápido para fixar: se M=\left[\begin{smallmatrix}a & b\\\ c & d\end{smallmatrix}\right], então M^{T}=\left[\begin{smallmatrix}a & c\\\ b & d\end{smallmatrix}\right].)

Passo 4

Definir a subtração elemento a elemento e calcular B^{T}-A.
Regra: para matrizes X e Y com mesma dimensão, (X-Y)_{ij}=X_{ij}-Y_{ij}.
Escrevendo B^{T} e A lado a lado:
B^{T}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right],\qquad A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right].
Calculemos cada entrada de B^{T}-A:
\begin{aligned} (B^{T}-A)_{11} &= 1-2 = -1,\\[4pt] (B^{T}-A)_{12} &= 3-0 = 3,\\[4pt] (B^{T}-A)_{21} &= 2-1 = 1,\\[4pt] (B^{T}-A)_{22} &= -1-1 = -2. \end{aligned}]

Passo 5

Escrever a matriz resultante juntando as entradas calculadas:
B^{T}-A=\left[\begin{array}{cc} -1 & 3 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{cc} -1 & 3 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right]

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