Um sistema trifásico equilibrado de tensão de linha V_{L}=400 \mathrm{~V} (sequência ABC) alimenta uma carga equilibrada ligada em triângulo ( \Delta ).
As linhas de transmissão são ideais (sem impedância) e a impedância de cada ramo da carga é:
Z_{\Delta}=8-j 6 \Omega
Determinar as tensões nos ramos da carga (entre fases).
2. Determinar as correntes nos ramos da carga ( \Delta ).
3. Determinar as correntes de linha que saem do gerador.
4. Representar o diagrama fasorial das correntes e tensões do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema trifásico equilibrado com tensão de linha V_{L}=400\\ \mathrm{V} (sequência ABC) alimentando uma carga equilibrada ligada em triângulo ( \Delta). A impedância de cada ramo da carga é
Z_{\Delta}=8 - j6\\ \Omega.
O que nos pedem:
  1. Determinar as tensões nos ramos da carga (tensões entre fases).
  2. Determinar as correntes nos ramos da carga (correntes nos ramos do \Delta).
  3. Determinar as correntes de linha que saem do gerador.
  4. Representar (numericamente) o diagrama fasorial das correntes e tensões.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tensão de linha (entre fases) é \,V_{L}=400\\ \mathrm{V}.
  • A carga está em delta; portanto a tensão em cada ramo do delta é igual à correspondente tensão de linha do gerador (linhas ideais, sem impedância).
  • Impedância de cada ramo: Z_{\Delta}=8-j6\\ \Omega.
  • É um sistema equilibrado com sequência positiva (ABC), então as três tensões de linha formam um sistema trifásico simétrico defasado de 120^\circ.

Passo 2

Entendendo as tensões entre fases (o que vamos usar primeiro).
  • Num circuito delta com linhas ideais, a tensão em cada ramo do delta é exatamente a tensão de linha correspondente. Logo: V_{AB},\\ V_{BC},\\ V_{CA}são as tensões nos ramos do delta.
  • Podemos escolher referência simples para facilitar contas: tomamos V_{AB}=400\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.Como o sistema é de sequência positiva (ABC), as demais tensões de linha são defasadas de 120^\circ. Assim tomamos: V_{BC}=400\angle -120^\circ\\ \mathrm{V},\qquad V_{CA}=400\angle +120^\circ\\ \mathrm{V}.
Essas três serão as tensões aplicadas diretamente aos ramos do \Delta.

Passo 3

Calcular a impedância em forma polar (vai facilitar a divisão fasorial).
  • Primeiro módulo: |Z_{\Delta}|=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\\ \Omega.
  • Ângulo de Z_{\Delta}: \angle Z_{\Delta}=\arctan\!\left(\frac{-6}{8}\right)=\arctan(-0,75)\approx -36{,}87^\circ.
  • Portanto: Z_{\Delta}=10\angle -36{,}87^\circ\\ \Omega.

Passo 4

Calcular as correntes nos ramos do \Delta usando a Lei de Ohm (corrente = tensão / impedância).
  • Fórmula geral para cada ramo: I_{\text{ramo}}=\frac{V_{\text{ramo}}}{Z_{\Delta}}.
  • Como estamos trabalhando em polar, a divisão em polar é simples: dividimos magnitudes e subtraímos ângulos.
Cálculos:
  • Para o ramo AB: I_{AB}=\frac{V_{AB}}{Z_{\Delta}}=\frac{400\angle 0^\circ}{10\angle -36{,}87^\circ}=40\angle(0^\circ-(-36{,}87^\circ))=40\angle 36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.Convertendo para cartesiano (útil depois): I_{AB}=40(\cos36{,}87^\circ + j\sin36{,}87^\circ)=40(0{,}8 + j0{,}6)=32 + j24\\ \mathrm{A}.
  • Para o ramo BC: I_{BC}=\frac{V_{BC}}{Z_{\Delta}}=\frac{400\angle -120^\circ}{10\angle -36{,}87^\circ}=40\angle(-120^\circ-(-36{,}87^\circ))=40\angle -83{,}13^\circ.Em cartesiano: I_{BC}=40(\cos(-83{,}13^\circ)+j\sin(-83{,}13^\circ))\approx 4{,}8 - j39{,}72\\ \mathrm{A}.
  • Para o ramo CA: I_{CA}=\frac{V_{CA}}{Z_{\Delta}}=\frac{400\angle +120^\circ}{10\angle -36{,}87^\circ}=40\angle(120^\circ-(-36{,}87^\circ))=40\angle 156{,}87^\circ.Em cartesiano: I_{CA}=40(\cos156{,}87^\circ + j\sin156{,}87^\circ)\approx -36{,}82 + j15{,}68\\ \mathrm{A}.
Observação didática: cada ramo tem módulo 40\\ \mathrm{A} porque |V|/|Z|=400/10. O ângulo da corrente resulta de subtrair o ângulo da impedância do ângulo da tensão aplicada.

Passo 5

Relacionar correntes de ramo ( \Delta) com correntes de linha e calcular as correntes de linha.
  • Convenção de sinais (comum e útil): definimos as correntes de ramo orientadas no sentido das letras do par (por exemplo I_{AB} do nó A para B, I_{BC} de B para C, I_{CA} de C para A). Nesse caso as correntes de linha que saem do gerador em cada fase são: I_A = I_{AB} - I_{CA},
I_B = I_{BC} - I_{AB},
I_C = I_{CA} - I_{BC}.
(Essas expressões vêm da conservação de corrente em cada nó do delta: a corrente que sai do gerador em A entra na junção entre ramos AB e CA, etc.)
Calculemos em cartesiano (soma/subtração de complexos é direta) e depois convertemos para polar.
  • Primeiro I_A: I_A = I_{AB} - I_{CA} = (32 + j24) - (-36{,}82 + j15{,}68) = 68{,}82 + j8{,}32\\ \mathrm{A}.Módulo e ângulo: |I_A|=\sqrt{68{,}82^{2}+8{,}32^{2}}\approx 69{,}28\\ \mathrm{A},
\angle I_A=\arctan\!\left(\frac{8{,}32}{68{,}82}\right)\approx 6{,}87^\circ.
Portanto I_A\approx 69{,}28\angle 6{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Depois I_B: I_B = I_{BC} - I_{AB} = (4{,}8 - j39{,}72) - (32 + j24) = -27{,}2 - j63{,}72\\ \mathrm{A}.Módulo e ângulo: |I_B|=\sqrt{(-27{,}2)^{2}+(-63{,}72)^{2}}\approx 69{,}28\\ \mathrm{A},
\angle I_B=\operatorname{atan2}(-63{,}72,-27{,}2)\approx -113{,}13^\circ.
Portanto I_B\approx 69{,}28\angle -113{,}13^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Finalmente I_C: I_C = I_{CA} - I_{BC} = (-36{,}82 + j15{,}68) - (4{,}8 - j39{,}72) = -41{,}62 + j55{,}4\\ \mathrm{A}.Módulo e ângulo: |I_C|=\sqrt{(-41{,}62)^{2}+(55{,}4)^{2}}\approx 69{,}28\\ \mathrm{A},
\angle I_C=\operatorname{atan2}(55{,}4,-41{,}62)\approx 126{,}26^\circ.
Portanto I_C\approx 69{,}28\angle 126{,}26^\circ\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: note que as magnitudes das correntes de linha são \sqrt{3} vezes a magnitude das correntes de ramo do delta: \sqrt{3}\times 40\approx 69{,}28\\ \mathrm{A}. Além disso cada corrente de linha está defasada em cerca de -30^\circ em relação à corrente do ramo imediatamente associado (por exemplo I_A está aproximadamente em \angle I_{AB}-30^\circ). Esses são resultados padrões para carga em \Delta:
  • Relação de magnitudes: |I_L|=\sqrt{3}\,|I_{\Delta}|.
  • Relação angular: I_L corresponde ao phasor resultante das diferenças entre correntes de dois ramos adjacentes (o efeito prático é o deslocamento de -30^\circ relativo à corrente de ramo correspondente).
Verificação rápida (equilíbrio):
I_A + I_B + I_C \approx 0\\ \\ (\text{somente pequenos erros de arredondamento}).

Passo 6

Representação fasorial (descrever numericamente — útil para desenhar à mão na prova).
  • Tensões entre fases (ramos do \Delta): V_{AB}=400\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},
V_{BC}=400\angle -120^\circ\\ \mathrm{V},
V_{CA}=400\angle +120^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Correntes nos ramos do \Delta: I_{AB}=40\angle 36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}\quad(\approx 32 + j24\\ \mathrm{A}),
I_{BC}=40\angle -83{,}13^\circ\\ \mathrm{A}\quad(\approx 4{,}8 - j39{,}72\\ \mathrm{A}),
I_{CA}=40\angle 156{,}87^\circ\\ \mathrm{A}\quad(\approx -36{,}82 + j15{,}68\\ \mathrm{A}).
  • Correntes de linha (saindo do gerador): I_A\approx 69{,}28\angle 6{,}87^\circ\\ \mathrm{A},
I_B\approx 69{,}28\angle -113{,}13^\circ\\ \mathrm{A},
I_C\approx 69{,}28\angle 126{,}26^\circ\\ \mathrm{A}.
Como desenhar o diagrama fasorial:
  • Desenhe primeiro as três tensões de linha de magnitude 400\\ \mathrm{V} espaçadas 120^\circ (por exemplo V_{AB} no eixo real positivo).
  • Em seguida, desenhe os três correntes de ramo (cada uma de magnitude 40\\ \mathrm{A}) com os ângulos dados (por exemplo I_{AB} com \approx 36{,}87^\circ acima do eixo real etc.).
  • Finalmente desenhe as correntes de linha como vetores de magnitude 69{,}28\\ \mathrm{A} e ângulos indicados; elas estarão também espaçadas por 120^\circ e aproximadamente -30^\circ em relação aos phasors de ramo correspondentes.

Resposta

  1. Tensões nos ramos do delta (tensões entre fases): \
    V_{AB}=400\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} \
    V_{BC}=400\angle -120^\circ\\ \mathrm{V} \
    V_{CA}=400\angle +120^\circ\\ \mathrm{V}
  2. Correntes nos ramos da carga ( \Delta): \
    I_{AB}=40\angle 36{,}87^\circ\\ \mathrm{A} \
    I_{BC}=40\angle -83{,}13^\circ\\ \mathrm{A} \
    I_{CA}=40\angle 156{,}87^\circ\\ \mathrm{A}
  3. Correntes de linha que saem do gerador: \
    I_{A}\approx 69{,}28\angle 6{,}87^\circ\\ \mathrm{A} \
    I_{B}\approx 69{,}28\angle -113{,}13^\circ\\ \mathrm{A} \
    I_{C}\approx 69{,}28\angle 126{,}26^\circ\\ \mathrm{A}
  4. Diagrama fasorial (numérico, para desenhar): \
    Tensões: V_{AB}=400\angle 0^\circ, V_{BC}=400\angle -120^\circ, V_{CA}=400\angle +120^\circ. \
    Correntes nos ramos: I_{AB}=40\angle 36{,}87^\circ, I_{BC}=40\angle -83{,}13^\circ, I_{CA}=40\angle 156{,}87^\circ. \
    Correntes de linha: I_{A}\approx 69{,}28\angle 6{,}87^\circ, I_{B}\approx 69{,}28\angle -113{,}13^\circ, I_{C}\approx 69{,}28\angle 126{,}26^\circ.

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