1. Considerando a notação da calculadora financeira HP12C, o valor futuro (FV) de uma quantia (valor presente, P V ) após n períodos sob a taxa de juros i é dado por F V=P V(1+i)^{n}, Calcule, com uma casa decimal, o número de períodos n tal que o valor futuro F V=1000 é atingido, dados
(c) P V=50 e i=50 \%

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado fornece a fórmula do valor futuro: F V = P V(1+i)^{n}.
  • Os dados fornecidos são:
    • F V = 1000,
    • P V = 50,
    • i = 50\% = 0,5.
  • A pergunta é: calcular o número de períodos \,n, tal que o valor futuro de \,P V=50, atinge \,F V=1000, sob a taxa \,i=0,5.
  • O resultado deve ser dado com uma casa decimal.

Passo 2

Isolar n na fórmula e explicar a ideia matemática por trás disso.
A fórmula composta é
F V = P V(1+i)^{n}.
Queremos encontrar n. Primeiro dividir ambos os lados por P V para isolar a potência:
\frac{F V}{P V} = (1+i)^{n}.
Agora, para “trazer” o expoente n para fora, usamos a função logarítmica. Vou usar o logaritmo natural ( \ln), que é a forma padrão para esse tipo de cálculo. Aplicando \ln aos dois lados:
\ln\!\left(\frac{F V}{P V}\right) = \ln\!\big((1+i)^{n}\big).
Pelo uso da propriedade dos logaritmos \ln(a^{n}) = n\ln(a), obtemos:
\ln\!\left(\frac{F V}{P V}\right) = n\ln(1+i).
Isolando n:
n = \frac{\ln\!\left(\dfrac{F V}{P V}\right)}{\ln(1+i)}.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • \,F V é o valor futuro que se quer obter.
  • \,P V é o valor presente (o capital inicial).
  • \,i é a taxa de juros por período (em decimal).
  • \ln é o logaritmo natural; ele transforma potências em multiplicações, permitindo resolver para expoentes como n.

Passo 3

Substituir os números dados na expressão obtida e calcular passo a passo.
Calcular a razão \dfrac{F V}{P V}:
\frac{F V}{P V} = \frac{1000}{50} = 20.
Calcular 1+i:
1+i = 1 + 0,5 = 1,5.
Agora calcular os logaritmos (valores numéricos). Usando \ln:
\ln\!(20) \approx 2{,}995732274, \qquad \ln(1{,}5) \approx 0{,}405465108.
(esses são valores numéricos de \ln obtidos com calculadora; o conceito é que \ln mede o “expoente” ao qual e deve ser elevado para obter o número.)
Dividindo para obter n:
n = \frac{\ln(20)}{\ln(1{,}5)} \approx \frac{2{,}995732274}{0{,}405465108} \approx 7{,}389\ldots

Passo 4

Arredondar o resultado para uma casa decimal, conforme pedido.
O valor calculado é aproximadamente 7{,}389\ldots. Arredondando para uma casa decimal obtemos
n \approx 7{,}4.
Interpretação rápida (para te dar confiança): isso significa que, com juros de 50\% por período, um capital de 50 crescerá até 1000 em cerca de 7{,}4 períodos (ou seja, pouco mais de 7 períodos completos).

Resposta

n = 7{,}4 períodos

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