1. Considerando a notação da calculadora financeira HP12C, o valor futuro (FV) de uma quantia (valor presente, P V ) após n períodos sob a taxa de juros i é dado por F V=P V(1+i)^{n}, Calcule, com uma casa decimal, o número de períodos n tal que o valor futuro F V=1000 é atingido, dados
(b) P V=100 e i=10 \%

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula do valor futuro e os dados numéricos para um caso específico. Valores e o que é pedido:
  • Fórmula: FV = PV(1+i)^{n}.
  • Dados: FV=1000,\qquad PV=100,\qquad i=10\%.
  • O que pediram: determinar o número de períodos n (com uma casa decimal) tal que o valor futuro FV=1000 seja atingido pelos dados acima.

Passo 2

Isolar a potência que contém n. Dividindo ambos os lados da fórmula por PV obtemos:
\frac{FV}{PV}=(1+i)^{n}.
Substituindo os números fornecidos:
\frac{1000}{100}=(1+0{,}10)^{n}.
Simplificando:
10 = (1{,}1)^{n}.

Passo 3

Explicar o método para resolver 10=(1{,}1)^{n}.
  • Quando n aparece como expoente, usamos logaritmos para “trazer” o expoente para fora: a propriedade fundamental é \ln(a^{n})=n\ln(a), onde \ln é o logaritmo natural (pode-se usar também logaritmo decimal \log_{10}).
  • Aplicando \ln aos dois lados da equação:
\ln(10)=\ln\big((1{,}1)^{n}\big)=n\ln(1{,}1).
  • Isolando n:
n=\frac{\ln(10)}{\ln(1{,}1)}.
Aqui \ln(10) é o logaritmo natural de 10 e \ln(1{,}1) é o logaritmo natural de 1{,}1.

Passo 4

Cálculo numérico das partes: indicar valores típicos de logaritmos e como proceder na prova.
  • Valores usados (pode obter na calculadora financeira, em tabelas de log ou numa calculadora científica):
\ln(10)\approx 2{,}302585093,\qquad \ln(1{,}1)\approx 0{,}0953101798.
  • Dividindo:
n \approx \frac{2{,}302585093}{0{,}0953101798}\approx 24{,}158883.

Passo 5

Arredondamento para uma casa decimal e interpretação.
  • Arredondando 24{,}158883 para uma casa decimal obtém-se 24{,}2 (pois o segundo decimal é 5, que faz arredondar a primeira casa decimal para cima).
  • Interpretação: são necessários aproximadamente 24{,}2 períodos à taxa de 10\% por período para transformar 100 em 1000.
  • Observação prática: se a prova usar uma calculadora HP12C, pode-se calcular diretamente n usando a tecla de logaritmos ou a função n da TVM (solving for n com PV=-100, FV=1000, i=10\%), mas o procedimento algébrico com logaritmos serve quando se resolve à mão.

Resposta

n=24{,}2 períodos

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