Considerando-se que os pontos 
  e 
  sejam equidistantes, então os números 
  e 
 , estarão, nesta ordem, em progressão geométrica se 
 .
Passo 1
Então, temos um problema que fala sobre quatro pontos: 
  e 
 , que estão equidistantes, ou seja, cada um está à mesma distância do próximo. A questão envolve uma sequência de números 
  e 
  que, nessa ordem, formam uma progressão geométrica, desde que 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma progressão geométrica e como as distâncias entre os pontos se relacionam com os números dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma progressão geométrica (PG). Em uma PG, cada termo depois do primeiro é encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Ou seja, se temos uma PG com termos 
 , então:
onde 
  é a razão da PG.
Passo 3
Agora, como os pontos 
  e 
  estão equidistantes? Isso significa que a distância entre 
  e 
  é a mesma que entre 
  e 
 , e entre 
  e 
 . Vamos chamar essa distância de 
 .
Passo 4
Vamos relacionar as distâncias com os números 
  e 
 . Suponha que 
  representem valores associados a cada ponto, talvez correspondendo a medidas como voltas, amplitudes ou qualquer outra grandeza que possa formar uma sequência.
Passo 5
Para que 
  estejam em progressão geométrica, precisamos que:
Isso significa que a razão entre termos consecutivos é a mesma.
Passo 6
Sabemos que 
 . Isso é importante porque, em uma PG, a razão 
  determina se a sequência está crescendo ou decrescendo. Com 
 , e se 
 , a sequência estará crescendo.
Passo 7
Assim, se os pontos estão equidistantes e os números associados estão em PG com 
 , garantimos que cada número subsequente é uma multiplicação do anterior por uma razão 
 , mantendo a propriedade de equidistância entre os pontos.
Resposta
Portanto, quando os pontos 
  e 
  são equidistantes e 
 , os números 
  e 
  formam, nessa ordem, uma progressão geométrica com razão 
 .