Considerando que r=r^{*}, prove que o valor de r^{*} e \Delta G^{*} são: Dica (use a equação de energia livre)
r^{*}=-\frac{2 \gamma}{\Delta G_{v}} \quad \Delta G^{*}=\frac{16 \pi \gamma^{3}}{3\left(\Delta G_{v}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado trata da energia livre total \Delta G(r) de formação de um núcleo esférico de raio r em nucleação, que é soma de dois termos: energia de superfície (proporcional a r^2) e energia volumétrica (proporcional a r^3). O objetivo é encontrar o raio crítico r^{*} que torna \Delta G(r) extremo e calcular o valor máximo \Delta G^{*}=\Delta G(r^{*}). Para isso vamos usar cálculo de extremos em termodinâmica de nucleação.

Passo 2

Escrevemos a expressão da energia livre de formação de um núcleo esférico:
\Delta G(r)=4\pi r^{2}\gamma+\tfrac{4\pi}{3}\,r^{3}\,\Delta G_{v},
onde \gamma é a tensão superficial e \Delta G_{v}<0 é a variação de energia livre por volume. Para achar o extremo, derivamos em relação a r e igualamos a zero.

Passo 3

Calculamos a derivada
\frac{d\Delta G}{dr} =\frac{d}{dr}\Bigl(4\pi r^{2}\gamma\Bigr) +\frac{d}{dr}\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}r^{3}\Delta G_{v}\Bigr) =8\pi r\,\gamma+4\pi r^{2}\,\Delta G_{v}.
Igualando a zero:
8\pi r\,\gamma+4\pi r^{2}\,\Delta G_{v}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 4\pi r\bigl(2\gamma+r\,\Delta G_{v}\bigr)=0.
Como r\neq0, segue
2\gamma+r^{*}\,\Delta G_{v}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{*}=-\frac{2\gamma}{\Delta G_{v}}.

Passo 4

Agora substituímos r^{*} em \Delta G(r) para obter \Delta G^{*}:
\Delta G^{*} =4\pi (r^{*})^{2}\gamma +\tfrac{4\pi}{3}(r^{*})^{3}\Delta G_{v}.
Como (r^{*})^{2}=4\gamma^{2}/(\Delta G_{v})^{2} e (r^{*})^{3}=-8\gamma^{3}/(\Delta G_{v})^{3}, temos
4\pi\gamma\frac{4\gamma^{2}}{(\Delta G_{v})^{2}} +\tfrac{4\pi}{3}\Delta G_{v}\,\Bigl(-\frac{8\gamma^{3}}{(\Delta G_{v})^{3}}\Bigr) = \frac{16\pi\gamma^{3}}{(\Delta G_{v})^{2}} -\frac{32\pi\gamma^{3}}{3(\Delta G_{v})^{2}} =\frac{16\pi\gamma^{3}}{3(\Delta G_{v})^{2}}.

Resposta

r^{*}=-\frac{2\gamma}{\Delta G_{v}} \quad\text{e}\quad \Delta G^{*}=\frac{16\pi\gamma^{3}}{3(\Delta G_{v})^{2}}.

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