Considerando o retificador de meia onda (RMO) alimentado por uma fonte de tensão senoidal
, realize a dedução das expressões usadas para se obter:
B) O valor eficaz da tensão de saída
.
OBS: para as deduções, fazer a análise pela forma de onda da saída (mediante seu respectivo intervalo de integração), conforme visto em aula. Após isso, em cada caso, desenvolver a integral até encontrar a expressão final.
B) O valor eficaz da tensão de saída
Passo 1
O enunciado pede que se deduza a expressão do valor eficaz (RMS) da tensão de saída para um retificador de meia onda alimentado por uma fonte senoidal. Informações dadas:
- A tensão de entrada é
. - O circuito é um retificador de meia onda ideal (diode ideal), logo a tensão de saída
é igual à parte positiva da senóide e zero durante a semiciclo negativo. - Deve-se fazer a análise pela forma de onda da saída, levando em conta os intervalos de tempo onde
é não nula e nula, e desenvolver a integral até obter a expressão final.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar: o valor eficaz (RMS) de uma tensão periódica
de período
é a raiz quadrada da média no tempo do quadrado da tensão ao longo de um período. Em fórmula:
Aqui vamos aplicar essa fórmula à tensão de saída
. Explicação rápida: o integrando
mede a potência instantânea proporcional à tensão ao quadrado; a média no tempo dá a potência média, e a raiz quadrada traz de volta para a mesma unidade da tensão.
Passo 3
Expressar a forma de onda de saída e o intervalo de integração. Para um retificador de meia onda ideal:
e o período é
. Portanto, a integral do quadrado sobre um período reduz-se à integral somente no semiciclo positivo:
Passo 4
Fatorar constantes e mudar a variável para simplificar. Tirando
fora da integral e fazendo a substituição
(logo
), obtemos:
Lembre que
, então
.
Passo 5
Calcular a integral
. Para isso, use a identidade trigonométrica
Integrando:
Portanto a integral vale
.
Passo 6
Substituir o resultado da integral na expressão média e simplificar. Temos
Isto é, a média do quadrado da tensão de saída ao longo de um período é
. Lembre que o valor eficaz é a raiz quadrada dessa média.
Passo 7
Tirar a raiz quadrada para obter o valor eficaz (RMS) da tensão de saída. A raiz positiva é a desejada (tensão eficaz não negativa), então:
(Deixei a simplificação final para a seção de resposta abaixo.)