Considerando o retificador de meia onda (RMO) alimentado por uma fonte de tensão senoidal \left(v_{i}(t)=V_{i(p k)} \cdot \operatorname{sen}(\omega t)\right), realize a dedução das expressões usadas para se obter:
B) O valor eficaz da tensão de saída \left(\boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\boldsymbol{e f})}\right).
OBS: para as deduções, fazer a análise pela forma de onda da saída (mediante seu respectivo intervalo de integração), conforme visto em aula. Após isso, em cada caso, desenvolver a integral até encontrar a expressão final.

Passo 1

O enunciado pede que se deduza a expressão do valor eficaz (RMS) da tensão de saída para um retificador de meia onda alimentado por uma fonte senoidal. Informações dadas:
  • A tensão de entrada é \,v_{i}(t)=V_{i(pk)}\cdot\operatorname{sen}(\omega t)\,.
  • O circuito é um retificador de meia onda ideal (diode ideal), logo a tensão de saída v_{o}(t) é igual à parte positiva da senóide e zero durante a semiciclo negativo.
  • Deve-se fazer a análise pela forma de onda da saída, levando em conta os intervalos de tempo onde v_{o}(t) é não nula e nula, e desenvolver a integral até obter a expressão final.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar: o valor eficaz (RMS) de uma tensão periódica v(t) de período T é a raiz quadrada da média no tempo do quadrado da tensão ao longo de um período. Em fórmula:
V_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl(v(t)\bigr)^{2}\,dt}.
Aqui vamos aplicar essa fórmula à tensão de saída v_{o}(t). Explicação rápida: o integrando \bigl(v(t)\bigr)^2 mede a potência instantânea proporcional à tensão ao quadrado; a média no tempo dá a potência média, e a raiz quadrada traz de volta para a mesma unidade da tensão.

Passo 3

Expressar a forma de onda de saída e o intervalo de integração. Para um retificador de meia onda ideal:
v_{o}(t)=\begin{cases} V_{i(pk)}\cdot\sin(\omega t), & \text{se } 0\le \omega t \le \pi,\\[4pt] 0, & \text{se } \pi < \omega t < 2\pi, \end{cases}
e o período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Portanto, a integral do quadrado sobre um período reduz-se à integral somente no semiciclo positivo:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\bigl(v_{o}(t)\bigr)^{2}dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{\pi/\omega}\bigl(V_{i(pk)}\sin(\omega t)\bigr)^{2}dt.]

Passo 4

Fatorar constantes e mudar a variável para simplificar. Tirando V_{i(pk)}^{2} fora da integral e fazendo a substituição u=\omega t (logo dt=\dfrac{du}{\omega}), obtemos:
\frac{1}{T}\int_{0}^{\pi/\omega}\bigl(V_{i(pk)}\sin(\omega t)\bigr)^{2}dt = \frac{V_{i(pk)}^{2}}{T}\int_{0}^{\pi/\omega}\sin^{2}(\omega t)\,dt = \frac{V_{i(pk)}^{2}}{T}\cdot\frac{1}{\omega}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}u\,du.
Lembre que T=\dfrac{2\pi}{\omega}, então \dfrac{1}{T}\cdot\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{1}{(2\pi/\omega)}\cdot\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{1}{2\pi}.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2}u\,du. Para isso, use a identidade trigonométrica
\sin^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Integrando:
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}u\,du = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2u)}{2}\,du = \left[\frac{u}{2}-\frac{\sin(2u)}{4}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2}-0 = \frac{\pi}{2}.
Portanto a integral vale \dfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Substituir o resultado da integral na expressão média e simplificar. Temos
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\bigl(v_{o}(t)\bigr)^{2}dt = V_{i(pk)}^{2}\cdot\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = V_{i(pk)}^{2}\cdot\frac{1}{4}.
Isto é, a média do quadrado da tensão de saída ao longo de um período é \dfrac{V_{i(pk)}^{2}}{4}. Lembre que o valor eficaz é a raiz quadrada dessa média.

Passo 7

Tirar a raiz quadrada para obter o valor eficaz (RMS) da tensão de saída. A raiz positiva é a desejada (tensão eficaz não negativa), então:
V_{o(\mathrm{ef})}=\sqrt{\dfrac{V_{i(pk)}^{2}}{4}}.
(Deixei a simplificação final para a seção de resposta abaixo.)

Resposta

V_{o(\mathrm{ef})}=\dfrac{V_{i(pk)}}{2}

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