Considerando o retificador de onda completa (ROC) alimentado por uma fonte de tensão senoidal \left(v_{i}(t)=V_{i(p k)} \cdot \operatorname{sen}(\omega t)\right), realize a dedução das expressões usadas para se obter:
B) O valor eficaz da tensão de saída ( \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\text { ef })} ).
OBS: para as deduções, fazer a análise pela forma de onda da saída (mediante seu respectivo intervalo de integração), conforme visto em aula. Após isso, em cada caso, desenvolver a integral até encontrar a expressão final.

Passo 1

O enunciado nos dá um retificador de onda completa (ROC) alimentado por uma fonte senoidal e pede a dedução do valor eficaz (RMS) da tensão de saída. Dados fornecidos:
  • A tensão de entrada é \,v_{i}(t)=V_{i(pk)}\cdot\sin(\omega t)\,.
  • A saída do retificador de onda completa é a versão absoluta (retificada) da senoide: sempre não negativa.
    O que se pede:
  • Deduzir a expressão fechada para \,V_{o(\mathrm{ef})}\,, o valor eficaz (RMS) da tensão de saída.

Passo 2

Descrever a forma de onda da saída e o período:
  • A função seno tem período \,T=\dfrac{2\pi}{\omega}\,\). - No retificador de onda completa a saída é o valor absoluto da senoide. Posso escrever a saída de forma peça a peça (em função do tempo): \[v_o(t)=\begin{cases} V_{i(pk)}\sin(\omega t), & \text{se } 0\le \omega t\le \pi\\[4pt] -V_{i(pk)}\sin(\omega t), & \text{se } \pi\le \omega t\le 2\pi \end{cases}
(essas duas expressões correspondem a um período 0\le t\le T\]; a segunda parte vale porque \(\sin(\omega t) é negativa em [\pi,2\pi] e o retificador inverte o sinal). Observação importante: quando eu elevar ao quadrado, em ambas as regiões v_o^2(t)=V_{i(pk)}^{2}\sin^{2}(\omega t).]

Passo 3

Definir a fórmula do valor eficaz (RMS) para uma grandeza periódica:
V_{o(\mathrm{ef})}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl[v_o(t)\bigr]^2 \,dt }.
Explicando: T é o período, \bigl[v_o(t)\bigr]^2 é o quadrado da tensão instantânea; o RMS é a raiz quadrada da média temporal desse quadrado ao longo de um período.

Passo 4

Substituir a expressão de v_o^2(t) na fórmula. Como foi observado, v_o^2(t)=V_{i(pk)}^{2}\sin^{2}(\omega t) em todo o período. Então
V_{o(\mathrm{ef})}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{i(pk)}^{2}\sin^{2}(\omega t)\,dt }.
Como V_{i(pk)}^{2} é constante, pode sair da integral:
V_{o(\mathrm{ef})}=\sqrt{V_{i(pk)}^{2}\cdot\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt }.
Isto é
V_{o(\mathrm{ef})}=V_{i(pk)}\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt }.

Passo 5

Resolver a integral usando uma identidade trigonométrica. Usar a identidade de duplo ângulo:
\sin^{2}(\theta)=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=\omega t:
\sin^{2}(\omega t)=\dfrac{1-\cos(2\omega t)}{2}.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\int_{0}^{T}\dfrac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt =\dfrac{1}{2}\int_{0}^{T}1\,dt-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt.

Passo 6

Calcular as integrais separadamente:
  • A primeira é simples:
\int_{0}^{T}1\,dt = T.
  • A segunda é integral de cosseno:
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt=\left.\dfrac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\right|_{0}^{T} =\dfrac{\sin(2\omega T)-\sin(0)}{2\omega}.
Mas 2\omega T = 2\omega\cdot\dfrac{2\pi}{\omega}=4\pi, e \sin(4\pi)=0. Logo a segunda integral vale zero. Portanto
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\dfrac{1}{2}\,T - \dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{T}{2}.

Passo 7

Voltar à expressão do RMS:
V_{o(\mathrm{ef})}=V_{i(pk)}\sqrt{\dfrac{1}{T}\cdot \dfrac{T}{2}} = V_{i(pk)}\sqrt{\dfrac{1}{2}}.
Simplificando,
V_{o(\mathrm{ef})}=\dfrac{V_{i(pk)}}{\sqrt{2}}.
Explicação final curta: o quadrado da forma de onda retificada é \sin^{2}, cuja média sobre um período é 1/2; por isso o RMS da saída coincide com o RMS da senoide original.

Resposta

V_{o(\mathrm{ef})}=\dfrac{V_{i(pk)}}{\sqrt{2}}

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