Considerando o retificador de onda completa (ROC) alimentado por uma fonte de tensão senoidal \left(v_{i}(t)=V_{i(p k)} \cdot \operatorname{sen}(\omega t)\right), realize a dedução das expressões usadas para se obter:
B) O valor eficaz da tensão de saída ( \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\text { ef })} ).
OBS: para as deduções, fazer a análise pela forma de onda da saída (mediante seu respectivo intervalo de integração), conforme visto em aula. Após isso, em cada caso, desenvolver a integral até encontrar a expressão final.
Passo 1
O enunciado nos dá um retificador de onda completa (ROC) alimentado por uma fonte senoidal e pede a dedução do valor eficaz (RMS) da tensão de saída. Dados fornecidos:
A tensão de entrada é \,v_{i}(t)=V_{i(pk)}\cdot\sin(\omega t)\,.
A saída do retificador de onda completa é a versão absoluta (retificada) da senoide: sempre não negativa.
O que se pede:
Deduzir a expressão fechada para \,V_{o(\mathrm{ef})}\,, o valor eficaz (RMS) da tensão de saída.
Passo 2
Descrever a forma de onda da saída e o período:
A função seno tem período \,T=\dfrac{2\pi}{\omega}\,\).
- No retificador de onda completa a saída é o valor absoluto da senoide. Posso escrever a saída de forma peça a peça (em função do tempo):
\[v_o(t)=\begin{cases} V_{i(pk)}\sin(\omega t), & \text{se } 0\le \omega t\le \pi\\[4pt] -V_{i(pk)}\sin(\omega t), & \text{se } \pi\le \omega t\le 2\pi \end{cases}
(essas duas expressões correspondem a um período 0\le t\le T\]; a segunda parte vale porque \(\sin(\omega t) é negativa em [\pi,2\pi] e o retificador inverte o sinal). Observação importante: quando eu elevar ao quadrado, em ambas as regiões v_o^2(t)=V_{i(pk)}^{2}\sin^{2}(\omega t).]
Passo 3
Definir a fórmula do valor eficaz (RMS) para uma grandeza periódica:
Explicando: T é o período, \bigl[v_o(t)\bigr]^2 é o quadrado da tensão instantânea; o RMS é a raiz quadrada da média temporal desse quadrado ao longo de um período.
Passo 4
Substituir a expressão de v_o^2(t) na fórmula. Como foi observado, v_o^2(t)=V_{i(pk)}^{2}\sin^{2}(\omega t) em todo o período. Então
Explicação final curta: o quadrado da forma de onda retificada é \sin^{2}, cuja média sobre um período é 1/2; por isso o RMS da saída coincide com o RMS da senoide original.