Para o retificador trifásico ponto médio a diodos ligado na rede de \mathbf{127 V} (tensão eficaz de fase), 60 Hz , esboçar v_{\mathrm{L}}, i_{\mathrm{L}} e i_{1}, indicando os diodos em condução e os valores de pico, e calcular o fator de potência para as seguintes situações de carga:
Carga resistiva, \mathrm{R}=5 \Omega

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes dados do enunciado e da figura):
  • Tensão eficaz de fase: \,V_{\text{ph,rms}}=127\\ \text{V}\,.
  • Frequência: \,f=60\\ \text{Hz}\,.
  • Carga: resistência \,R=5\\ \Omega\, (conectada entre o ponto de saída dos diodos e o retorno à neutro).
  • Circuito: retificador trifásico “ponto-médio” (meia-onda) com três diodos D_1,D_2,D_3, cada diodo ligado a uma fase e o outro terminal comum ao resistor (figura fornecida).
O enunciado pede:
  1. Esboçar v_{L}(t), i_{L}(t) e i_{1}(t), indicando quais diodos conduzem e os valores de pico.
  2. Calcular o fator de potência para a carga resistiva R=5\\ \Omega.
Observações preparatórias (não resolvo ainda): vou definir as fases por
v_1(\theta)=V_m\sin\theta,\qquad v_2(\theta)=V_m\sin\!\left(\theta-\tfrac{2\pi}{3}\right),\qquad v_3(\theta)=V_m\sin\!\left(\theta-\tfrac{4\pi}{3}\right),
onde \theta=\omega t e \,V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{ph,rms}}\, é a amplitude da tensão de fase.

Passo 2

Entendimento físico do circuito e da forma das ondas (aula curta):
  • Cada diodo conecta a sua fase ao resistor apenas quando a tensão dessa fase é a mais positiva entre as três. Assim, em cada instante exatamente um diodo entrega corrente ao resistor (não há condução simultânea de dois diodos neste circuito ideal).
  • Cada fase será a mais positiva durante um intervalo de 120^\circ ( 2\pi/3 rad) por ciclo: portanto cada diodo conduz por 120^\circ a cada período.
  • A forma de v_L(t) é, portanto, uma sequência de trechos da forma V_m\sin\theta, cada trecho com duração 120^\circ, correspondendo à fase que estiver mais positiva naquele intervalo. Logo v_L(t) são três “meias-senóides” positivas por período (três pulsos por ciclo), cada uma com largura angular 2\pi/3.
  • Como a carga é puramente resistiva, quando um diodo conduz vale i_L(t)=v_L(t)/R. Fora do intervalo de condução do respectivo diodo a corrente dessa fase é zero.

Passo 3

Cálculo dos valores de pico e parâmetros básicos:
  • Amplitude da tensão de fase:
V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{ph,rms}}=\sqrt{2}\cdot127\approx179{,}605\\ \text{V}\approx179{,}6\\ \text{V}.
  • Pico da tensão no resistor (pico de v_L):
v_{L,\text{peak}}=V_m\approx179{,}6\\ \text{V}.
  • Pico da corrente no resistor (quando a respectiva fase atinge o pico):
i_{L,\text{peak}}=\frac{V_m}{R}=\frac{179{,}605}{5}\approx35{,}921\\ \text{A}\approx35{,}92\\ \text{A}.

Passo 4

Determinação analítica da forma média (valor médio) de v_L — cálculo de \,V_{DC}=\overline{v_L}\,:
  • Em um período aproveitamos a simetria: cada diodo fornece v(\theta)=V_m\sin\theta durante um intervalo de comprimento 2\pi/3. Tomando, por exemplo, que v_1 é a mais positiva no intervalo \theta\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right] (isso é apenas uma escolha de referência; os outros são deslocados de 120^\circ),
  • O valor médio por período é
V_{DC}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{3}\int_{\text{intervalo}_k} V_m\sin\theta\,d\theta =\frac{3}{2\pi}\int_{\pi/6}^{5\pi/6} V_m\sin\theta\,d\theta.
  • Calcule a integral:
\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin\theta\,d\theta=[- \cos\theta]_{\pi/6}^{5\pi/6} = -\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) = -\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
  • Assim
V_{DC}=\frac{3}{2\pi}\,V_m\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\,V_m.
  • Substituindo V_m:
V_{DC}=\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\cdot179{,}605\approx148{,}570\\ \text{V}\approx148{,}6\\ \text{V}.

Passo 5

Corrente média (valor médio contínuo) e potência ativa entregue à carga:
  • Corrente média (DC média) no resistor:
I_{DC}=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{148{,}570}{5}\approx29{,}714\\ \text{A}\approx29{,}71\\ \text{A}.
  • Potência média (potência ativa) fornecida ao resistor (valor médio de v_L i_L):
    Como i_L=v_L/R, a potência média é \overline{v_L^2}/R. Calculamos por integral:
P=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{3}\int_{\text{intervalo}_k}\frac{V_m^2\sin^2\theta}{R}\,d\theta =\frac{3}{2\pi}\cdot\frac{V_m^2}{R}\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^2\theta\,d\theta.
  • Calcule a integral de \sin^2:
\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^2\theta\,d\theta =\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\frac{1-\cos2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr)-\frac{1}{4}\Bigl(\sin\!2\theta\Bigr)_{\pi/6}^{5\pi/6} =\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}.
  • Logo
P=\frac{3}{2\pi}\cdot\frac{V_m^2}{R}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right) =\frac{V_m^2}{R}\left(\tfrac{1}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8\pi}\right).
  • Substituindo numericamente:
V_m^2\approx(179{,}605)^2\approx32\,257{,}96\\ \text{V}^2,\qquad \frac{V_m^2}{R}\approx\frac{32\,257{,}96}{5}\approx6\,451{,}59\\ \text{W}.
P\approx6\,451{,}59\cdot\left(0{,}5+\frac{3\sqrt{3}}{8\pi}\right)\approx6\,451{,}59\cdot0{,}706712\approx4\,559{,}17\\ \text{W}.

Passo 6

Cálculo da corrente eficaz por fase \,I_{rms,\text{fase}}\, (necessária para o aparente) e do fator de potência:
  • Corrente de uma fase é nula fora do intervalo de condução dessa fase; durante o intervalo vale i(\theta)=V_m\sin\theta/R. Assim
I_{rms,\text{fase}}^2=\frac{1}{2\pi}\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(\frac{V_m\sin\theta}{R}\right)^2 d\theta =\frac{V_m^2}{R^2}\cdot\frac{1}{2\pi}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right).
  • Portanto
I_{rms,\text{fase}}=\frac{V_m}{R}\sqrt{\frac{1}{2\pi}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}.
  • Numérico:
I_{rms,\text{fase}}\approx\frac{179{,}605}{5}\sqrt{0{,}235676}\approx35{,}921\cdot0{,}48545\approx17{,}439\\ \text{A}\approx17{,}44\\ \text{A}.
  • Potência aparente total fornecida pela rede (tres fases):
S=3\cdot V_{\text{ph,rms}}\cdot I_{rms,\text{fase}}=3\cdot127\cdot17{,}439\approx6\,641{,}83\\ \text{VA}.
  • Fator de potência (PF) definido como PF=\dfrac{P}{S}:
PF=\frac{4\,559{,}17}{6\,641{,}83}\approx0{,}6866\approx0{,}687.
Comentário físico: a defasagem (displacement PF) entre a componente fundamental da corrente e a tensão de fase é nula (ou muito próxima de zero) porque a carga é resistiva; a redução do PF se deve às distorções harmônicas da forma de corrente (curtos pulsos), não à defasagem fundamental.

Passo 7

Resumo descritivo (esboço das formas de onda e quais diodos conduzem):
  • Forma de v_L(t): sequência de três trechos por período. Em cada trecho v_L(\theta)=V_m\sin\theta durante 120^\circ (por exemplo, v_1 domina em \theta\in[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}], v_2 domina no próximo intervalo de 120^\circ, e assim por diante). O gráfico é uma série de arcos senoidais positivos (sem negativo) com três picos por ciclo; pico de cada arco é V_m.
  • Forma de i_L(t): idêntica a v_L(t) escalada por 1/R, isto é, trechos senoidais positivos de largura 120^\circ, pico i_{L,\text{peak}}=V_m/R, valor médio I_{DC}=V_{DC}/R.
  • Forma de i_1(t) (corrente da fase 1): pulsos senoidais idênticos aos trechos de i_L quando D_1 conduz; fora deste intervalo i_1(t)=0. Os mesmos para i_2,i_3 deslocados 120^\circ.
  • Diagrama de condução (por ordem cíclica): por exemplo, para \theta em [\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}] conduz D_1; em [\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{9\pi}{6}] (ou [\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2}] ajustando período) conduz D_2; em seguida conduz D_3, e assim por diante, cada um durante 120^\circ.

Resposta

Pico de v_L: 179{,}6\\ \text{V}
Pico de i_L: 35{,}92\\ \text{A}
Valor médio de saída V_{DC}: 148{,}6\\ \text{V}
Corrente média I_{DC}: 29{,}71\\ \text{A}
Potência ativa P: 4\,559{,}17\\ \text{W}
Corrente eficaz por fase I_{rms,\text{fase}}: 17{,}44\\ \text{A}
Aparentemente S: 6\,641{,}83\\ \text{VA}
Fator de potência PF: 0{,}687

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