Considerando o retificador de onda completa (ROC) com transformador e tap (tomada) central, realize os cálculos necessários para a determinação dos seguintes valores:
  • Valor de pico no secundário ( \boldsymbol{V}_{\mathbf{2 ( p k )}} );
  • Valores de pico ( \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\boldsymbol{p} \boldsymbol{k})} ), eficaz ( \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\text { ef })} ) e médio ( \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\boldsymbol{m e d})} ) da tensão de saída;
  • Valores eficaz ( \boldsymbol{I}_{\boldsymbol{o}(\boldsymbol{e f})} ) e médio ( \boldsymbol{I}_{\boldsymbol{o}(\boldsymbol{m e d})} ) da corrente de saída;
  • Frequência de saída (fo).
    Mostrar o equacionamento utilizado. Além disso, desenhe:
  • O circuito do ROC com transformador e tap central com a respectiva indicação das tensões e da corrente de saída;
  • A forma de onda da tensão de entrada senoidal e a forma de onda da tensão de saída retificada (desenhar uma abaixo da outra).
    D) Refaça a letra \mathbf{B} ( \mathbf{2}^{\mathbf{a}} aproximação), porém agora considerando uma tensão de entrada eficaz \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{e f f})} de 220 V .
    Para realizar os cálculos, utilize os seguintes parâmetros:
  • Valor eficaz da fonte de tensão de entrada CA: \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{e f})}=220 \mathrm{~V};
  • Frequência de entrada: \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}=60 \mathrm{~Hz}.
  • Número de espiras do lado primário no transformador: \mathbf{N}_{\mathbf{1}}=10.
  • Número de espiras do lado secundário no transformador: \mathbf{N}_{2}=2.
  • Resistência de carga: \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{L}}=250 \Omega.
  • Queda de tensão da barreira de potencial do diodo (tensão de limiar): \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{k}}=0,7 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado pede que sejam calculados vários valores elétricos para um retificador de onda completa com transformador com tap (tomada) central. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Tensão de entrada eficaz: V_{i(\mathrm{ef})}=220\\ \mathrm{V}.
  • Frequência de entrada: f_{i}=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Espiras do primário: N_{1}=10.
  • Espiras do secundário (total): N_{2}=2.
  • Resistência de carga: R_{L}=250\\ \Omega.
  • Queda de tensão no diodo (tensão de limiar): V_{k}=0,7\\ \mathrm{V}.
As perguntas que vou responder (cada uma com equacionamento e valores numéricos):
  1. Valor de pico no secundário: V_{2(\mathrm{pk})}.
  2. Valores da tensão de saída: pico V_{o(\mathrm{pk})}, eficaz (rms) V_{o(\mathrm{ef})} e médio V_{o(\mathrm{med})}.
  3. Valores da corrente de saída: eficaz I_{o(\mathrm{ef})} e médio I_{o(\mathrm{med})}.
  4. Frequência de saída f_{o}.
    Além disso: desenhar o circuito (transformador com tap central e diodos) e as formas de onda (entrada senoidal e saída retificada, uma abaixo da outra).
Observação sobre notação que vou usar:
  • Vou chamar V_{2(\mathrm{rms})} a tensão RMS entre as extremidades do enrolamento secundário (fim-a-fim).
  • Em retificador com tap central, cada metade do secundário tem metade das espiras; a carga “vê” a tensão de uma metade por vez. Por isso usarei também V_{2,\mathrm{meia}(\mathrm{rms})} e seus correspondentes picos.

Passo 2

Relação de transformação e cálculo das tensões no secundário.
Regra do transformador (razão de espiras):
\frac{V_{2(\mathrm{rms})}}{V_{i(\mathrm{ef})}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}.
Substituindo os valores:
V_{2(\mathrm{rms})}=V_{i(\mathrm{ef})}\,\frac{N_{2}}{N_{1}}=220\cdot\frac{2}{10}=220\cdot 0{,}2=44\\ \mathrm{V}.
Portanto a tensão RMS entre as extremidades do secundário é \,44\\ \mathrm{V}.
Como o secundário tem tomada central, cada metade tem metade das espiras. Logo a tensão RMS de cada meia-bobina é
V_{2,\mathrm{meia}(\mathrm{rms})}=\frac{V_{2(\mathrm{rms})}}{2}= \frac{44}{2}=22\\ \mathrm{V}.
Conversão RMS → pico (porque a forma é senoidal):
V_{\text{pk}}=V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}.
Aplicando ao secundário inteiro (fim-a-fim):
V_{2(\mathrm{pk,\,full})}=44\sqrt{2}\approx 62{,}23\\ \mathrm{V}.
Aplicando à meia-bobina (que é a que alimenta a carga em cada semiciclo):
V_{2(\mathrm{pk,\,half})}=22\sqrt{2}\approx 31{,}11\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Explicação do funcionamento do retificador de onda completa com tap central (didática, sem ainda calcular a saída):
  • Estrutura: o secundário tem uma tomada central; em cada semiciclo uma das extremidades fica positiva em relação ao centro e a respectiva meia-bobina “entrega” tensão através de um diodo até a carga; no semiciclo seguinte a outra extremidade entrega por outro diodo. Assim a carga vê pulsos da magnitude do pico da meia-bobina (com a queda do diodo subtraída).
  • Em cada semiciclo conduz apenas um diodo; portanto a queda total por condução é de uma única queda V_{k} (não duas, como no ponte de diodos).
  • A forma de onda na saída, idealizando a queda do diodo como um deslocamento DC (e ignorando pequenos intervalos de corte quando a senóide é menor que V_k), é:
v_{o}(t)=\bigl|V_{m}\sin(\omega t)\bigr|-V_{k},
onde V_{m}=V_{2(\mathrm{pk,\,half})} é o pico da meia-bobina e \omega=2\pi f_{i}. Se em algum instante |V_{m}\sin(\omega t)|\le V_{k} então v_o(t)=0 (o diodo bloqueia); para o nosso caso V_{m}\gg V_{k} e esse efeito é pequeno, mas mais à frente usarei uma aproximação que ignora esses pedaços de corte pequeno.

Passo 4

Cálculo do pico da tensão de saída V_{o(\mathrm{pk})}.
O valor de pico na carga é o pico da meia-bobina menos a queda do diodo:
V_{o(\mathrm{pk})}=V_{2(\mathrm{pk,\,half})}-V_{k}.
Substituindo:
V_{o(\mathrm{pk})}=22\sqrt{2}-0{,}7\\ \mathrm{V}\approx 31{,}1127-0{,}7\approx 30{,}4127\\ \mathrm{V}.
Arredondando: V_{o(\mathrm{pk})}\approx 30{,}413\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Cálculo do valor médio (valor médio DC) da tensão de saída V_{o(\mathrm{med})}.
Para uma onda retificada em ponte ou completa com valor absoluto da senóide, a média da função |\sin| sobre um período vale 2/\pi. Assim, desprezando pequenas zonas em que o diodo possa bloquear perto de zero, a média do termo V_{m}|\sin(\omega t)| é V_{m}\cdot 2/\pi. Subtraindo a queda do diodo (durante condução), a expressão aproximada para o valor médio é
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{2V_{m}}{\pi}-V_{k},
onde V_{m}=V_{2(\mathrm{pk,\,half})}.
Substituindo:
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{2\cdot 22\sqrt{2}}{\pi}-0{,}7.
Usando o fator numérico \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\approx 0{,}900316316:
V_{o(\mathrm{med})}=22\cdot 0{,}900316316-0{,}7\approx 19{,}80696-0{,}7\approx 19{,}10696\\ \mathrm{V}.
Arredondando: V_{o(\mathrm{med})}\approx 19{,}107\\ \mathrm{V}.
Breve interpretação: esse é o valor DC médio que a carga “vê” se não houver filtro. Está bem abaixo do pico, porque a saída é pulsante.

Passo 6

Cálculo do valor eficaz (RMS) da tensão de saída V_{o(\mathrm{ef})} — aproximação prática.
Método (aproximação prática, razoável quando V_{m}\gg V_{k}):
  • A média do quadrado da função v_{o}(t) (quando conduz) pode ser aproximada por:
\overline{v_{o}^{2}} \approx V_{m}^{2}\,\overline{\sin^{2}} - 2V_{m}V_{k}\,\overline{|\sin|}+V_{k}^{2},
onde \overline{\sin^{2}}=1/2 e \overline{|\sin|}=2/\pi. Essa expressão resulta de expandir (V_{m}|\sin|-V_k)^2 e usar médias, ignorando o pequeno intervalo em que o diodo fica cortado (quando V_{m}|\sin|<V_k). Dessa forma:
\overline{v_{o}^{2}} \approx \frac{V_{m}^{2}}{2}-\frac{4V_{m}V_{k}}{\pi}+V_{k}^{2}.
Então:
V_{o(\mathrm{ef})}=\sqrt{\overline{v_{o}^{2}}} =\sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{2}-\frac{4V_{m}V_{k}}{\pi}+V_{k}^{2}}.
Agora substituo V_{m}=22\sqrt{2} e V_{k}=0{,}7\\ \mathrm{V}. Note que V_{m}^{2}=(22\sqrt{2})^{2}=22^{2}\cdot 2=484\cdot 2=968.
Calculemos term a term:
\frac{V_{m}^{2}}{2}=\frac{968}{2}=484.
\frac{4V_{m}V_{k}}{\pi}=\frac{4\cdot 22\sqrt{2}\cdot 0{,}7}{\pi}\approx \frac{61{,}6\sqrt{2}}{\pi}\approx 27{,}745\quad(\text{aprox.}).
V_{k}^{2}=0{,}7^{2}=0{,}49.
Somando:
\overline{v_{o}^{2}}\approx 484-27{,}745+0{,}49\approx 456{,}745.
Portanto
V_{o(\mathrm{ef})}\approx\sqrt{456{,}745}\approx 21{,}377\\ \mathrm{V}.
Observação: a aproximação ignorou os pequenos intervalos em que a senóide é menor que V_k. Para nosso caso a diferença entre a aproximação e a conta integral exata é pequena; a aproximação é prática e usada em muitos exercícios de prova.

Passo 7

Cálculo das correntes médias e eficazes na carga (leis de Ohm).
A carga é puramente resistiva R_{L}. Então:
I_{o(\mathrm{ef})}=\frac{V_{o(\mathrm{ef})}}{R_{L}},\qquad I_{o(\mathrm{med})}=\frac{V_{o(\mathrm{med})}}{R_{L}}.
Substituindo os valores:
I_{o(\mathrm{ef})}=\frac{21{,}377}{250}\\ \mathrm{A}\approx 0{,}08551\\ \mathrm{A} \quad(\approx 85{,}51\\ \mathrm{mA}),
I_{o(\mathrm{med})}=\frac{19{,}107}{250}\\ \mathrm{A}\approx 0{,}07643\\ \mathrm{A} \quad(\approx 76{,}43\\ \mathrm{mA}).

Passo 8

Frequência de saída f_{o}.
Num retificador de onda completa (cada semiciclo da senóide resulta em um pulso de saída), a frequência dos pulsos na saída é o dobro da frequência de entrada:
f_{o}=2f_{i}=2\cdot 60\\ \mathrm{Hz}=120\\ \mathrm{Hz}.

Passo 9

Resumo dos principais resultados numéricos (repetição compacta para clareza antes da resposta final):
  • Tensão secundária (RMS, fim-a-fim): V_{2(\mathrm{rms})}=44\\ \mathrm{V}.
  • Pico do secundário (fim-a-fim): V_{2(\mathrm{pk,\,full})}=44\sqrt{2}\approx 62{,}23\\ \mathrm{V}.
  • Pico da meia-bobina: V_{2(\mathrm{pk,\,half})}=22\sqrt{2}\approx 31{,}11\\ \mathrm{V}.
  • Pico de saída (considerando queda do diodo): V_{o(\mathrm{pk})}\approx 30{,}413\\ \mathrm{V}.
  • Média de saída: V_{o(\mathrm{med})}\approx 19{,}107\\ \mathrm{V}.
  • Efetivo (RMS) de saída: V_{o(\mathrm{ef})}\approx 21{,}377\\ \mathrm{V}.
  • Corrente média: I_{o(\mathrm{med})}\approx 0{,}07643\\ \mathrm{A}.
  • Corrente eficaz: I_{o(\mathrm{ef})}\approx 0{,}08551\\ \mathrm{A}.
  • Frequência de saída: f_{o}=120\\ \mathrm{Hz}.

Passo 10

Desenhos (representações textuais) — circuito e formas de onda.
Circuito do ROC com transformador e tap central (desenho ASCII com indicações):
\n
Primário (N1=10) Secundário (N2=2) com tap central
┌───────────────┐ ┌────┬────┐
│ ~Vi(t) │ │ │ │
│ 220 V RMS │---------│════╪════│--------- (neutro/terra)
│ (primário) │ │ │ │
└───────────────┘ └────┴────┘
A CT B
│ │ │
│ │ │
└──D1┴──D2┘
│ │
└───(R_L)──┘
Legenda e tensões:
  • Tensão entre A e B (fim-a-fim): V_{2(\mathrm{rms})}=44\\ \mathrm{V} (pico 62{,}23\\ \mathrm{V}).
  • Tensão entre A e CT (meia): V_{2,\mathrm{meia}(\mathrm{rms})}=22\\ \mathrm{V} (pico 31{,}11\\ \mathrm{V}).
  • Diodo D1 conduz quando A>CT; D2 conduz quando B>CT.
  • Polaridade no RL: o terminal superior (conexão entre diodo e carga) fica sempre positivo em relação ao terminal inferior (CT), com magnitude pulsante v_o(t).
Forma de onda (representação aproximada, entrada senoidal em cima e saída retificada embaixo):
Entrada v_{i}(t) (senoidal):
\n
+V /‾\ /‾\ /‾\
| / \ / \ /
| / / / /
—±-----/---------------------------------- time
| /
| / \ / \ /
-V ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾
Saída v_{o}(t) (retificada, com queda de diodo):
\n
+V_o(pk) /\ /\ /\ /\
/ \ / \ / \ /
/ / / /
—±-----/------------------------------- time
| | | | | |
0 1/2T T 3/2T 2T
Observações dos desenhos:
  • Na saída os negativos da senóide da meia-bobina são invertidos (porque o outro diodo conduz no semiciclo seguinte), produzindo pulsos positivos a cada semiciclo. Cada pulso tem pico V_{o(\mathrm{pk})} e é deslocado para baixo pela queda V_k.

Resposta

V_{2(\mathrm{pk,\,full})}=44\sqrt{2}\approx 62{,}23\\ \mathrm{V}
V_{o(\mathrm{pk})}\approx 30{,}413\\ \mathrm{V}
V_{o(\mathrm{ef})}\approx 21{,}377\\ \mathrm{V}
V_{o(\mathrm{med})}\approx 19{,}107\\ \mathrm{V}
I_{o(\mathrm{ef})}\approx 0{,}08551\\ \mathrm{A}
I_{o(\mathrm{med})}\approx 0{,}07643\\ \mathrm{A}
f_{o}=120\\ \mathrm{Hz}

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