Considerando o retificador de onda completa (ROC) alimentado por uma fonte de tensão senoidal \left(v_{i}(t)=V_{i(p k)} \cdot \operatorname{sen}(\omega t)\right), realize a dedução das expressões usadas para se obter:
A) O valor médio da tensão de saída \left(\boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\boldsymbol{m e d})}\right).
OBS: para as deduções, fazer a análise pela forma de onda da saída (mediante seu respectivo intervalo de integração), conforme visto em aula. Após isso, em cada caso, desenvolver a integral até encontrar a expressão final.

Passo 1

O enunciado fornece a tensão de entrada
v_{i}(t)=V_{i(\text{pk})}\cdot\operatorname{sen}(\omega t)
e pede a dedução da expressão do valor médio da tensão de saída do retificador de onda completa V_{o(\text{med})}. Informações e objetivos claros:
  • Dado: amplitude de pico da fonte \;V_{i(\text{pk})}\; e frequência angular \;\omega\;.
  • Saída do retificador de onda completa: tensão retificada (sempre não negativa), ou seja a forma de onda é o valor absoluto da senóide de entrada.
  • Pergunta: obter analiticamente V_{o(\text{med})}, o valor médio (média temporal) de v_o(t) ao longo de um período.

Passo 2

Descrever a forma de onda da saída e os intervalos relevantes para integrar.
Para um retificador de onda completa ideal (diodes ideais, carga resistiva), a saída é o valor absoluto da entrada:
v_{o}(t)=\;V_{i(\text{pk})}\,\big|\operatorname{sen}(\omega t)\big|.
O período da senóide é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Para escrever de forma peça-a-peça, observe a sinalização da seno:
  • Para 0\le t \le \dfrac{\pi}{\omega} tem \operatorname{sen}(\omega t)\ge 0, logo v_o(t)=V_{i(\text{pk})}\,\operatorname{sen}(\omega t).
  • Para \dfrac{\pi}{\omega}\le t \le \dfrac{2\pi}{\omega} tem \operatorname{sen}(\omega t)\le 0, e como tomamos valor absoluto, v_o(t)=-V_{i(\text{pk})}\,\operatorname{sen}(\omega t).

Passo 3

Definir o valor médio (média temporal) e montar a integral por partes conforme os intervalos acima.
A definição do valor médio de uma função periódica v_o(t) é
V_{o(\text{med})}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v_o(t)\,dt.
Usando a expressão peça-a-peça de v_o(t),
V_{o(\text{med})}=\frac{1}{T}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} V_{i(\text{pk})}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt \;+\; \int_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}} -V_{i(\text{pk})}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt\right).
Fatorando V_{i(\text{pk})}:
V_{o(\text{med})}=\frac{V_{i(\text{pk})}}{T}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt \;-\; \int_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt\right).

Passo 4

Usar a propriedade de simetria da senóide para simplificar a soma das integrais.
Note que \operatorname{sen}(\omega t) é negativa no segundo intervalo, então -\operatorname{sen}(\omega t) é positiva e as duas integrais têm mesmo valor absoluto. Alternativamente podemos somar diretamente:
\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt \;-\; \int_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt \;+\; \int_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}} \big(-\operatorname{sen}(\omega t)\big)\,dt.
Podemos também observar que a função retificada repete-se a cada \dfrac{\pi}{\omega}, então é possível escrever
V_{o(\text{med})}=\frac{1}{T}\cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} V_{i(\text{pk})}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt
ou ainda
V_{o(\text{med})}=\frac{V_{i(\text{pk})}}{T}\cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral explicitamente (mostrar antiderivada e avaliação de limites).
A primitiva de \operatorname{sen}(\omega t) em relação a t é -\dfrac{\cos(\omega t)}{\omega}. Então
\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt = \left[-\frac{\cos(\omega t)}{\omega}\right]_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} = -\frac{\cos\big(\omega\cdot\frac{\pi}{\omega}\big)}{\omega} + \frac{\cos(0)}{\omega}.
Simplificando os cossenos:
\cos\big(\omega\cdot\frac{\pi}{\omega}\big)=\cos(\pi)=-1,\qquad \cos(0)=1,
portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} \operatorname{sen}(\omega t)\,dt = -\frac{(-1)}{\omega} + \frac{1}{\omega} = \frac{2}{\omega}.

Passo 6

Substituir o valor da integral na expressão do valor médio e simplificar até obter a forma final.
Usando a forma com o fator 2:
V_{o(\text{med})}=\frac{V_{i(\text{pk})}}{T}\cdot 2\cdot\frac{2}{\omega} = \frac{V_{i(\text{pk})}}{T}\cdot\frac{4}{\omega}.
Mas T=\dfrac{2\pi}{\omega}, logo T\omega=2\pi. Substituindo,
V_{o(\text{med})}=V_{i(\text{pk})}\cdot\frac{4}{T\omega} =V_{i(\text{pk})}\cdot\frac{4}{2\pi} =V_{i(\text{pk})}\cdot\frac{2}{\pi}.
Portanto a expressão final é
V_{o(\text{med})}=\frac{2\,V_{i(\text{pk})}}{\pi}.

Passo 7

Pequeno reforço numérico (exemplo): se V_{i(\text{pk})}=10\\ \text{V}, então
V_{o(\text{med})}=\frac{2\cdot 10}{\pi}\approx 6{,}366\\ \text{V}.
Força aí — esse é o resultado que normalmente se usa em questões de retificação completa.

Resposta

V_{o(\text{med})}=\frac{2\,V_{i(\text{pk})}}{\pi}

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