4- Considerando o sistema da questão anterior e seguindo o conteúdo apresentado em aula, obtenha:
a) A solução geral
para o oscilador amortecido considerado no regime supercrítico (
).
b) A expressão para
.
c) Determine as constantes
e
a partir da condição inicial
e
.
d) Reescreva a solução geral
e a velocidade
em função de
e
.
a) A solução geral
b) A expressão para
c) Determine as constantes
d) Reescreva a solução geral
Passo 1
Beleza, olha só o que temos: um oscilador amortecido no regime supercrítico (ou seja, amortecimento forte, com
). A equação de movimento é
e a gente quer:
a) mostrar que a solução geral é
a) mostrar que a solução geral é
b) achar a velocidade
;
c) fixar e
pelas condições iniciais
,
;
d) reescrever e
já com
e
.
O que vamos usar: método da equação característica (procurar ), derivação de exponencial e álgebra pra resolver sistema de duas equações.
c) fixar
d) reescrever
O que vamos usar: método da equação característica (procurar
Passo 2
A gente supõe
. Substituindo em
dá a equação característica
Como
, as raízes são reais e distintas:
Logo a solução geral é
onde definimos
e
. Pronto, mostramos o item (a).
Passo 3
Agora vamos achar a velocidade
.
Usamos derivada do produto:
Usamos derivada do produto:
Aplicando a regra:
Juntando termos:
Passo 4
A condição inicial
dá
E
dá
Temos um sistema em
e
:
Da primeira,
. Substituindo na segunda:
Então
Passo 5
Basta voltar nos
e
que achamos e jogar em
e
. Assim temos:
[
v(t)
= e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\Biggl[
\frac{v_0 + (\beta+\tfrac{\gamma}{2})x_0}{2\beta},(\beta-\tfrac{\gamma}{2}),e^{\beta t}
\frac{(\beta-\tfrac{\gamma}{2})x_0 - v_0}{2\beta},(\beta+\tfrac{\gamma}{2}),e^{-\beta t}
\Biggr].
]
\Biggr].
]