5- Considerando o sistema da questão anterior e seguindo o conteúdo apresentado em aula, obtenha:
e) A solução geral x(t)=e^-gamma2 t[a+b t] para o oscilador amortecido considerado no regime crítico v(t).
f) A expressão para a.
g) Determine as constantes b e x(0)=x0 a partir da condição inicial v(0)= e v0 x(t).
h) Reescreva a solução geral v(t) e a velocidade x0 em função de v0 e

Passo 1

Beleza, o enunciado tá falando do oscilador harmônico damped (com amortecimento), no caso crítico (quando γ²/4 = ω₀²). A equação que a gente resolve é
ddot x + gamma dot x + omega0^2,x = 0
e, para o regime crítico, tem raiz dupla na equação característica. A tarefa é:
e) Mostrar que a solução geral é
x(t)=e^-gamma2 t,[a + b,t],,
f) achar a velocidade ,
g) encontrar e pelos dados iniciais , ,
h) colocar e só em função de e .
Pra isso vamos precisar de:
  • Resolver a equação característica de uma EDO linear de 2.º grau.
  • Lembrar que raiz dupla dá solução do tipo .
  • Fazer derivada (produto) pra achar .
  • Aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Derivando a teoria: a equação característica é
r^2 + gamma r + omega0^2 = 0
No caso crítico, r = -gamma2 , então o discriminante é zero e a raiz é
x(t) = l(C1 + C2,tr),e^r,t = l(a + b,tr),e^-gamma2 t,
(com multiplicidade 2). Numa EDO de 2.ª ordem com raiz dupla , a solução geral é
que é exatamente a forma pedida no item (e).

Passo 3

Agora vamos achar a velocidade x(t) = e^-gamma2 t,(a + b,t) . Temos
dot x = ddtl[e^-gamma2 tr],(a + b,t) + e^-gamma2 t,ddt(a + b,t)
Use a regra do produto:
v(t)=dot x(t) = -gamma2,e^-gamma2 t(a + b,t) + e^-gamma2 t,b = e^-gamma2 tl[b - tfracgamma2,(a + b,t)r]
Como e ,

Passo 4

Agora as condições iniciais:
  • x(0)=e^0,(a + bcdot0)=a = x0 v(0)=e^0l[b - tfracgamma2,(a + bcdot0)r] = b - tfracgamma2,a = v0
  • b - gamma2,x0 = v0 Longrightarrow b = v0 + gamma2,x0
Como , temos

Passo 5

Basta substituir x(t) = e^-gamma2 t l[x0 + l(v0 + tfracgamma2 x0r),tr], e v(t) = e^-gamma2 t l[l(v0 + tfracgamma2 x0r) - tfracgamma2l(x0 + l(v0 + tfracgamma2 x0r)tr) r] naquelas expressões:
e
Se você quiser simplificar ainda mais, dá pra abrir parênteses.

Resposta

e) x(t) = e^-gamma2 t l[x0 + l(v0 + tfracgamma2 x0r),tr], v(t) = e^-gamma2 t l[l(v0 + tfracgamma2 x0r) - tfracgamma2l(x0 + l(v0 + tfracgamma2 x0r)tr) r]
f)
g)
h)

Exercícios relacionados