5- Considerando o sistema da questão anterior e seguindo o conteúdo apresentado em aula, obtenha:
e) A solução geral
para o oscilador amortecido considerado no regime crítico
.
f) A expressão para
.
g) Determine as constantes
e
a partir da condição inicial
e
.
h) Reescreva a solução geral
e a velocidade
em função de
e
e) A solução geral
f) A expressão para
g) Determine as constantes
h) Reescreva a solução geral
Passo 1
Beleza, o enunciado tá falando do oscilador harmônico damped (com amortecimento), no caso crítico (quando γ²/4 = ω₀²). A equação que a gente resolve é
e, para o regime crítico, tem raiz dupla na equação característica. A tarefa é:
e) Mostrar que a solução geral é
e) Mostrar que a solução geral é
f) achar a velocidade
,
g) encontrar e
pelos dados iniciais
,
,
h) colocar e
só em função de
e
.
g) encontrar
h) colocar
Pra isso vamos precisar de:
- Resolver a equação característica de uma EDO linear de 2.º grau.
- Lembrar que raiz dupla dá solução do tipo
. - Fazer derivada (produto) pra achar
. - Aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Derivando a teoria: a equação característica é
No caso crítico,
, então o discriminante é zero e a raiz é
(com multiplicidade 2). Numa EDO de 2.ª ordem com raiz dupla
, a solução geral é
que é exatamente a forma pedida no item (e).
Passo 3
Agora vamos achar a velocidade
. Temos
Use a regra do produto:
Como
e
,
Passo 4
Agora as condições iniciais:
-
dá -
dá
Como
, temos
Passo 5
Basta substituir
e
naquelas expressões:
e
Se você quiser simplificar ainda mais, dá pra abrir parênteses.
Resposta
e)
f)
g)
h)