Considerando o sistema representado em espaço de estados, obtenha a matriz de ganho do observador
\mathbf{K}_{e} tal que os polos desejados do observador fiquem em s=-5 e s=-5. Aplique os três métodos.
O enunciado fornece o sistema em espaço de estados com
A = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},
e pede o ganho do observador \mathbf K_{e} de modo que os polos do erro tenham lugar em s=-5 (multiplicidade 2).
Para isso precisamos conhecer o polinômio característico desejado e usar três métodos de colocação de polos: comparação de coeficientes, fórmula de Ackermann direta para observador e dualidade com o problema de controle.
Passo 2
Método 1 – comparação de coeficientes.
Seja \mathbf K_{e} = \begin{pmatrix}k_{1}\k_{2}\end{pmatrix}. O erro satisfaz
\dot{\mathbf e} = (A - \mathbf K_{e}C)\,\mathbf e.
Método 3 – dualidade com projeto de controlador.
Considera-se o sistema dual
\dot{\xi} = A^{T}\,\xi + C^{T}\,u,
e coloca-se o ganho de controle \mathbf K_{\mathrm{dual}} para fixar polos em -5. Como \varphi(A^{T})=\varphi(A)^{T}=\begin{pmatrix}17&7\\\ 7&10\end{pmatrix}, aplica-se Ackermann de controle: