Considerando o sistema representado em espaço de estados, obtenha a matriz de ganho do observador
\mathbf{K}_{e} tal que os polos desejados do observador fiquem em s=-5 e s=-5. Aplique os três métodos.
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right] \mathbf{x}(t), \quad y(t)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)
Solução: \mathbf{K}_{e}=\left[\begin{array}{c}7 \\\\ 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece o sistema em espaço de estados com
A = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},
e pede o ganho do observador \mathbf K_{e} de modo que os polos do erro tenham lugar em s=-5 (multiplicidade 2).
Para isso precisamos conhecer o polinômio característico desejado e usar três métodos de colocação de polos: comparação de coeficientes, fórmula de Ackermann direta para observador e dualidade com o problema de controle.

Passo 2

Método 1 – comparação de coeficientes.
Seja \mathbf K_{e} = \begin{pmatrix}k_{1}\k_{2}\end{pmatrix}. O erro satisfaz
\dot{\mathbf e} = (A - \mathbf K_{e}C)\,\mathbf e.
Calculamos
A - \mathbf K_{e}C = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}k_{1}\k_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 - k_{1} & 1\\\ 1 - k_{2} & -2\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det\bigl(sI - (A-\mathbf K_{e}C)\bigr) = s^{2} - (\,\mathrm{tr}(A-\mathbf K_{e}C)\,)s + \det(A-\mathbf K_{e}C).
Calculando traço e determinante:
\mathrm{tr}(A-\mathbf K_{e}C)=(-1-k_{1}) + (-2)= -3 - k_{1}, \quad \det(A-\mathbf K_{e}C) = ( -1 - k_{1})(-2) - (1)(1 - k_{2}) = 2+2k_{1} -1 + k_{2} = 1 + 2k_{1} + k_{2}.
Queremos o polinômio
(s+5)^{2} = s^{2} + 10s + 25.
Assim
-\,\mathrm{tr}(A-\mathbf K_{e}C)=10 \quad\Longrightarrow\quad 3 + k_{1}=10 \quad\Longrightarrow\quad k_{1}=7,
\det(A-\mathbf K_{e}C)=25 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 2\cdot7 + k_{2}=25 \quad\Longrightarrow\quad k_{2}=10.
Logo \mathbf K_{e}=\begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix}.

Passo 3

Método 2 – fórmula de Ackermann para observador.
Define-se o polinômio de observador
\varphi(s) = (s+5)^{2} = s^{2} +10s +25,
e calcula-se \varphi(A): primeiro
A^{2} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -2\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix}2 & -3\\\ -3 & 5\end{pmatrix}.
Então
\varphi(A) = A^{2} +10A +25I = \begin{pmatrix}2 & -3\\\ -3 & 5\end{pmatrix} +10\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -2\end{pmatrix} +25\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17 & 7\\\ 7 & 10\end{pmatrix}.
A fórmula de Ackermann dá
\mathbf K_{e}^{T} = C\,\varphi(A) = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}17 & 7\\\ 7 & 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17 & 7\end{pmatrix} - \text{(mas só precisamos da segunda linha)} = \begin{pmatrix}7 & 10\end{pmatrix},ó
portanto \mathbf K_{e}=\begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix}.

Passo 4

Método 3 – dualidade com projeto de controlador.
Considera-se o sistema dual
\dot{\xi} = A^{T}\,\xi + C^{T}\,u,
e coloca-se o ganho de controle \mathbf K_{\mathrm{dual}} para fixar polos em -5. Como \varphi(A^{T})=\varphi(A)^{T}=\begin{pmatrix}17&7\\\ 7&10\end{pmatrix}, aplica-se Ackermann de controle:
\mathbf K_{\mathrm{dual}} = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}\,\varphi(A^{T}) = \begin{pmatrix}7 & 10\end{pmatrix}.
Pela dualidade, \mathbf K_{e} = \mathbf K_{\mathrm{dual}}^{T} = \begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \mathbf K_{e}=\begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix}

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