Sendo o sistema representado em espaço de estados abaixo, obtenha a matriz de ganho de realimentação \mathbf{K} tal que os polos de malha fechada fiquem alocados em s=-3 e s=-5. Aplique os três métodos de obtenção \mathbf{K}.
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -2 & -3 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 2 \end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)
Solução: \mathbf{K}=\left[\begin{array}{ll}6,5 & 2,5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de espaço de estados
\dot{\mathbf{x}}(t)=A\,\mathbf{x}(t)+B\,u(t), \quad y(t)=C\,\mathbf{x}(t),
com
A = \begin{bmatrix}0 & 1\\\ -2 & -3\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}0\\\ 2\end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix},
e pede um realimentador de estado u=-K\,x que coloque os polos de malha fechada em s=-3 e s=-5. O conteúdo envolvido é alocação de polos via realimentação de estado, que exige verificar controlabilidade e depois usar métodos de comparação de coeficientes, fórmula de Ackermann e forma canônica controlável.

Passo 2

Verificamos a controlabilidade pelo determinante da matriz
\mathcal{C} = \bigl[\,B\;\;A\,B\bigr] = \begin{bmatrix}0 & 2\\\ 2 & -6\end{bmatrix},
cujo determinante é \det\mathcal{C}=(0)(-6)-(2)(2)=-4\neq0, logo o sistema é controlável. O polinômio desejado é
(s+3)(s+5)=s^2+8s+15.

Passo 3

Método de comparação de coeficientes. Com u=-Kx temos
A_{\rm cl}=A - B\,K =\begin{bmatrix}0 & 1\\\ -2 & -3\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}0\\\ 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & 1\\\ -2-2k_1 & -3-2k_2\end{bmatrix}.
O polinômio característico de A_{\rm cl} é
\det\bigl(sI - A_{\rm cl}\bigr) =s^2+(3+2k_2)s+(2+2k_1),
que deve coincidir com s^2+8s+15. Igualando coeficientes:
3+2k_2=8\;\Rightarrow\;k_2=2{,}5, \quad 2+2k_1=15\;\Rightarrow\;k_1=6{,}5.

Passo 4

Fórmula de Ackermann. Seja \varphi(s)=s^2+8s+15. Calculamos
A^2=\begin{bmatrix}-2 & -3\\\ 6 & 7\end{bmatrix}, \quad 8A=\begin{bmatrix}0 & 8\\\ -16 & -24\end{bmatrix}, \quad 15I=\begin{bmatrix}15 & 0\\\ 0 & 15\end{bmatrix},
logo
\varphi(A)=A^2+8A+15I =\begin{bmatrix}13 & 5\\\ -10 & -2\end{bmatrix}.
Como \mathcal{C}=[B\;AB] e \mathcal{C}^{-1}=\begin{bmatrix}3/2 & 1/2\\\ 1/2 & 0\end{bmatrix}, temos
K = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}\mathcal{C}^{-1}\,\varphi(A) = \begin{bmatrix}13/2 & 5/2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6{,}5 & 2{,}5\end{bmatrix}.

Passo 5

Forma canônica controlável. Tomamos a base \{b,Ab\} com b=B, de modo que a mudança de base x=Tz com
T=\bigl[B\;\;A\,B\bigr]
leva (A,B) a
A_c=\begin{bmatrix}0 & 1\\\ -2 & -3\end{bmatrix},\quad B_c=\begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix}.
No espaço z a realimentação u=-K_cz produz
A_{c,\rm cl}=\begin{bmatrix}0 & 1\\\ -2-k_{c1} & -3-k_{c2}\end{bmatrix}
e igualando ao polinômio desejado obtemos k_{c1}=6{,}5,\;k_{c2}=2{,}5. Voltando a x pela relação K=K_c\,T^{-1} confirma-se
K=\begin{bmatrix}6{,}5 & 2{,}5\end{bmatrix}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{K}=\begin{bmatrix}6,5 & 2,5\end{bmatrix}

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