Considerando o sistema representado em espaço de estados, obtenha a matriz de ganho do observador \mathbf{K}_{e} tal que os polos desejados do observador fiquem em s=-10, s=-10 e s=-15. Aplique os três métodos.
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -5 & -6 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)
Solução: \mathbf{K}_{e}=\left[\begin{array}{c}35 \\\\ 394 \\\\ 1285\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema em espaço de estados
\dot{\mathbf x}=A\mathbf x+B\,u,\quad y=C\mathbf x
com
A=\begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&0&1\\\ -5&-6&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix},
e pede a matriz de ganho do observador \mathbf K_e tal que os polos de A-\mathbf K_eC fiquem em s=-10,-10,-15. O polinômio desejado é
(s+10)^2(s+15)=s^3+35s^2+400s+1500.
Vamos encontrar \mathbf K_e por três métodos:
1) comparação direta de polinômio característico,
2) fórmula de Ackermann no sistema dual (A^T,C^T),
3) transformação para a forma canônica de observabilidade e volta.

Passo 2

Método 1 – comparação de polinômio característico:
Escrevemos \mathbf K_e=(k_1,k_2,k_3)^T e calculamos
A-\mathbf K_eC =\begin{pmatrix}-k_1&1&0\\\ -k_2&0&1\\\ -5-k_3&-6&0\end{pmatrix}.
O determinante
\det\bigl(sI-(A-\mathbf K_eC)\bigr) =\det\begin{pmatrix}s+k_1&-1&0\k_2&s&-1\\\ 5+k_3&6&s\end{pmatrix}
expande para
s^3 + k_1s^2+(k_2+6)s+(6k_1+5+k_3).
Igualando aos coeficientes de s^3+35s^2+400s+1500 obtemos
k_1=35,\quad k_2+6=400\\ \Rightarrow\\ k_2=394,\quad 6\cdot35+5+k_3=1500\\ \Rightarrow\\ k_3=1285.
Logo
\mathbf K_e=\begin{pmatrix}35\\\ 394\\\ 1285\end{pmatrix}.

Passo 3

Método 2 – Ackermann no sistema dual:
Para o par (A^T,C^T) o automóvel de controlabilidade é
\mathcal{C} = [\,C^T,\;A^T C^T,\;(A^T)^2 C^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},]
logo invertível. A fórmula dá
\mathbf{K}_e^T = [0\;0\;1] \, \bigl((A^T)^3 + 35 (A^T)^2 + 400 A^T + 1500 I\bigr).
Bastaria calcular (A^T)^n C^T e somar, o que conduz aos mesmos valores
\mathbf{K}_e = (35, 394, 1285)^T.

Passo 4

Método 3 – forma canônica de observabilidade e volta:
Definimos
P=\begin{pmatrix}C A^2\C A\C\end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}0&0&1\\\ 0&1&0\\\ 1&0&0\end{pmatrix},
assim z=P\,x leva
A_z=P\,A\,P^{-1} =\begin{pmatrix}0&-6&-5\\\ 1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix},\quad C_z=C\,P^{-1}=(0\;0\;1).
Neste canónico a lei do observador usa ganho \mathbf K_z tal que
\det(sI-(A_z-\mathbf K_zC_z))=s^3+35s^2+400s+1500. Fazendo “matching” obtém-se
\mathbf K_z=(1285,394,35)^T. Voltando à base original,
\mathbf K_e=P^T\mathbf K_z e como P=P^T (é involutiva),
\mathbf K_e =P\,\mathbf K_z =\begin{pmatrix}35\\\ 394\\\ 1285\end{pmatrix}.

Resposta

\mathbf K_{e}=\begin{pmatrix}35\\\ 394\\\ 1285\end{pmatrix}.

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