Ouestão 1: (1,0 ponto)

A filmagem de uma perturbação (lançamento de uma pedra) efetuada na porção central da superficie livre de um rio permitiu obter dois valores relativos à propagação das ondas geradas. Para a direção montante do sentido do fluxo a velocidade resultante estimada foi de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e para a direção jusante a velocidade foi de 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A filmagem foi efetuada em cima de uma ponte e através das passadas realizadas ao longo dela foi possível estimar a largura do rio como sendo de 4 m . A profundidade do rio não foi possível de ser medida. Sabe-se de antemão que as paredes desse rio são verticais.
Diante disso, estime a vazão ( \mathrm{Q} \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) e altura ( y em m ) deste rio. Classifique o tipo de escoamento observado através do cálculo do número de Froude.

Passo 1

O enunciado trata de ondas de superfície num rio de paredes verticais e largura b=4 m. Mediram-se as velocidades de propagação das ondas em relação ao solo: 1,5 m/s contra o fluxo (montante) e 4,5 m/s a favor do fluxo (jusante). Queremos estimar a profundidade y, a vazão Q e classificar o escoamento calculando o número de Froude. Vamos usar a teoria de ondas rasas, em que a velocidade de fase das ondas é c=\sqrt{g\,y}, e o princípio de Galileu para somar ou subtrair c e a velocidade média U.

Passo 2

Em relação ao solo, as velocidades medidas satisfazem
montante: \;c - U = 1{,}5 m/s
jusante: \;c + U = 4{,}5 m/s
Somando as duas equações obtemos
2c = 6 \quad\Rightarrow\quad c = 3\;\mathrm{m/s},
e subtraindo a primeira da segunda
2U = 3 \quad\Rightarrow\quad U = 1{,}5\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Pela teoria de ondas rasas,
c = \sqrt{g\,y}
com g=9{,}81 m/s ^2. Logo
y = \frac{c^2}{g} = \frac{3^2}{9{,}81} \approx 0{,}917\;\mathrm{m}.

Passo 4

A vazão média do rio é
Q = U \, b \, y = 1{,}5 \times 4 \times 0{,}917 \approx 5{,}50\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 5

O número de Froude é
\mathrm{Fr} = \frac{U}{\sqrt{g\,y}} = \frac{1{,}5}{3} = 0{,}5.
Como \mathrm{Fr}<1, o escoamento é subcrítico.

Resposta

Profundidade y \approx 0{,}92 m
Vazão Q \approx 5{,}50 m ^3/s
Escoamento subcrítico ( \mathrm{Fr}=0{,}5)

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