\mathbf{3}^{\mathbf{a}} questão: Determine, pelo Critério de Routh, quantas raízes os polinômios a seguir possuem no SPD.
\begin{gathered} Q_{1(s)}=S^{4}+2 S^{2}+3 S+3 \\\ Q_{2(s)}=S^{5}+2 S^{4}+4 S^{3}+8 S^{2}+3 S+2 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o Critério de Routh–Hurwitz, quantas raízes dos polinômios
Q_{1}(s)=s^{4}+2s^{2}+3s+3
e
Q_{2}(s)=s^{5}+2s^{4}+4s^{3}+8s^{2}+3s+2
estão no semiplano direito (SPD). Para isso vamos montar a tabela de Routh e contar as variações de sinal na primeira coluna.

Passo 2

Montagem da tabela de Routh para Q_{1}(s). Como o coeficiente de s^3 é zero, substituímos esse elemento por \varepsilon>0 e prosseguimos:
\begin{array}{c|ccc} & \text{coluna 1} & \text{coluna 2} & \text{coluna 3}\\hline s^4 & 1 & 2 & 3\\\ s^3 & \varepsilon & 3 & 0\\\ s^2 & 2 - \dfrac{3}{\varepsilon} & 3 & \\\ s^1 & 3 & 0 & \\\ s^0 & 3 & & \end{array}
Neste arranjo temos os sinais aproximados:
s^4:+,\quad s^3:+,\quad s^2:-,\quad s^1:+,\quad s^0:+.

Passo 3

Contagem de variações de sinal na primeira coluna de Q_{1}(s):
+ \to +\;(\text{sem variação}),\; + \to -\;(\text{1ª variação}),\; - \to +\;(\text{2ª variação}),\; + \to +\;(\text{sem variação}).çãªçãªçãçã
Logo, há 2 variações de sinal, isto é, 2 raízes no SPD.

Passo 4

Montagem da tabela de Routh para Q_{2}(s). Como o coeficiente de s^3 é zero, usamos \varepsilon>0:
\begin{array}{c|ccc} & \text{coluna 1} & \text{coluna 2} & \text{coluna 3}\\hline s^5 & 1 & 4 & 3\\\ s^4 & 2 & 8 & 2\\\ s^3 & \varepsilon & 2 & \\\ s^2 & 8 - \dfrac{4}{\varepsilon} & 2 & \\\ s^1 & 2 & 0 & \\\ s^0 & 2 & & \end{array}
Os sinais na primeira coluna são
s^5:+,\quad s^4:+,\quad s^3:+,\quad s^2:-,\quad s^1:+,\quad s^0:+.

Passo 5

Contagem de variações de sinal na primeira coluna de Q_{2}(s):
+ \to +\;(\text{sem variação}),\; + \to +\;(\text{sem variação}),\; + \to -\;(\text{1ª variação}),\; - \to +\;(\text{2ª variação}),\; + \to +\;(\text{sem variação}).çãçãªçãªçãçã
Portanto, também há 2 raízes no SPD.

Resposta

Q_{1}(s) possui 2 raízes no SPD.
Q_{2}(s) possui 2 raízes no SPD.

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