Considerando as temperaturas máxima e mínima fixas, qual é o efeito da razão de pressão na eficiência térmica e no trabalho líquido de um ciclo com turbina a gás (1,0 ponto).
Passo 1
O enunciado dá que as temperaturas máxima e mínima do ciclo são fixas (vou chamar a menor de
e a maior de
) e pergunta qual é o efeito da razão de pressão sobre (1) a eficiência térmica e (2) o trabalho líquido de um ciclo com turbina a gás.
Informações relevantes (já anotadas para usar depois):
Informações relevantes (já anotadas para usar depois):
- Temperatura mínima:
(fixa). - Temperatura máxima:
(fixa). - Razão de pressão do ciclo:
(variável que queremos estudar). - Pressuposições padrão deste tipo de pergunta: processos de compressão e expansão são isentrópicos ideais, gás perfeito com razão de capacidades térmicas
, capacidades específicas constantes ( constantes).
O que se pede, em palavras simples:
- Determinar como a eficiência térmica do ciclo varia quando se aumenta
(mantendo e fixas). - Determinar como o trabalho líquido do ciclo varia quando se aumenta
(mantendo e fixas).
Passo 2
Vamos escrever as relações básicas do ciclo (Brayton ideal) e explicar cada passo com calma.
Definições e relações isentrópicas (explicação curta): num processo isentrópico para um gás perfeito, a relação entre temperaturas e pressões é
Aqui a razão de pressão do ciclo é
. Defina
Como
é a temperatura antes do compressor e
é a temperatura depois do aquecimento (máxima), aplicando as relações isentrópicas temos as temperaturas internas do ciclo em função de
:
Explicação: aumentar
aumenta
(compressor trabalha mais) e reduz
(maior queda na expansão, maior trabalho na turbina).
Passo 3
Agora escrevemos as trocas de calor e a eficiência térmica do ciclo (passo a passo, com definição do que é cada termo).
Definição de calor adicionado e rejeitado (usando
constante):
Definição de eficiência térmica:
Substituindo
e
em função de
:
Comentário didático: esta expressão mostra
como uma função explícita de
, com
e
fixos.
Agora vamos mostrar que
aumenta quando
aumenta. Para isso é conveniente estudar a razão
pois
. Se mostrarmos que
para
, então
e
cresce com
.
Cálculo do sinal de
(explicando cada passo):
- Seja
e para simplificar a escrita, com . Então
- Derivando por quociente (e usando
e ) obtemos, após simplificação algébrica,
(Detalhe da simplificação: o numerador pode ser manipulado e multiplicado por
para ficar
, mostrando que é negativo para
.)
Portanto
Conclusão lógica:
é estritamente decrescente com
. Como
, segue que
Interpretação física simples e motivadora: aumentando a razão de pressão, a temperatura depois do compressor (
) sobe e a temperatura depois da turbina (
) cai; isso reduz a fração de calor rejeitado em relação ao calor adicionado, aumentando a eficiência.
Passo 4
Agora tratamos o trabalho líquido do ciclo e sua dependência em
.
Definição do trabalho líquido por unidade de massa (diferença entre trabalho da turbina e do compressor), usando
:
Substituindo
e
:
Reescrevendo de forma mais clara:
Checagem rápida: para
obtemos
(faz sentido: sem compressão/expansão não há trabalho líquido).
Agora vamos estudar a derivada para ver se
cresce sempre ou tem máximo:
Procuramos ponto crítico resolvendo
:
Logo a razão de pressão ótima que extremiza (no caso maximiza)
é
Sinal da derivada e natureza do extremo: para
muito pequeno (próximo de
) a derivada é positiva (aumentando
aumenta o trabalho líquido); para
a derivada torna-se negativa (aumentos adicionais de
reduzem
). Portanto
cresce com
até
e depois diminui.
Interpretação física: aumentar
inicialmente aumenta mais o trabalho extra extraído pela turbina do que o trabalho consumido pelo compressor, então o trabalho líquido sobe. Após
o aumento do trabalho do compressor (que cresce rapidamente com
) domina e o trabalho líquido cai.
Passo 5
Resumo final, com observações práticas e uma palavra de ânimo:
- Eficiência térmica: com
e fixas, a eficiência do ciclo aumenta monotonicamente quando a razão de pressão aumenta. Em fórmula geral:
e
.
- Trabalho líquido: com
e fixas, o trabalho líquido não aumenta indefinidamente; ele cresce com até um ótimo
e para
o trabalho líquido diminui.
Observação prática: na aplicação real há ainda limites adicionais (por ex. não pode exceder materiais do combustor, perdas irreversíveis, eficiência isentrópica < 1 etc.), mas a tendência básica acima vale para o ciclo Brayton ideal.
Observação prática: na aplicação real há ainda limites adicionais (por ex.
Força aí! É normal ficar tenso, mas com esse raciocínio você consegue justificar qualitativamente e também produzir as fórmulas na prova.
Resposta
A eficiência térmica aumenta monotonamente com a razão de pressão
(mantendo
e
fixas).
O trabalho líquido aumenta com até uma razão de pressão ótima
O trabalho líquido aumenta com
e para
o trabalho líquido passa a diminuir.