Considerando as temperaturas máxima e mínima fixas, qual é o efeito da razão de pressão na eficiência térmica e no trabalho líquido de um ciclo com turbina a gás (1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá que as temperaturas máxima e mínima do ciclo são fixas (vou chamar a menor de \,T_1 e a maior de \,T_3) e pergunta qual é o efeito da razão de pressão sobre (1) a eficiência térmica e (2) o trabalho líquido de um ciclo com turbina a gás.
Informações relevantes (já anotadas para usar depois):
  • Temperatura mínima: \,T_1 (fixa).
  • Temperatura máxima: \,T_3 (fixa).
  • Razão de pressão do ciclo: \,r=\dfrac{P_2}{P_1} (variável que queremos estudar).
  • Pressuposições padrão deste tipo de pergunta: processos de compressão e expansão são isentrópicos ideais, gás perfeito com razão de capacidades térmicas \,\gamma, capacidades específicas constantes ( c_p constantes).
O que se pede, em palavras simples:
  • Determinar como a eficiência térmica do ciclo varia quando se aumenta \,r (mantendo \,T_1 e \,T_3 fixas).
  • Determinar como o trabalho líquido do ciclo varia quando se aumenta \,r (mantendo \,T_1 e \,T_3 fixas).

Passo 2

Vamos escrever as relações básicas do ciclo (Brayton ideal) e explicar cada passo com calma.
Definições e relações isentrópicas (explicação curta): num processo isentrópico para um gás perfeito, a relação entre temperaturas e pressões é
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}} \quad\text{e}\quad \frac{T_3}{T_4}=\left(\frac{P_3}{P_4}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui a razão de pressão do ciclo é \,r=\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{P_3}{P_4}. Defina
a=\frac{\gamma-1}{\gamma}\quad(\text{pois aparecerá muito}).á
Como T_1 é a temperatura antes do compressor e T_3 é a temperatura depois do aquecimento (máxima), aplicando as relações isentrópicas temos as temperaturas internas do ciclo em função de r:
T_2 = T_1\,r^{a}, \qquad T_4 = T_3\,r^{-a}.
Explicação: aumentar \,r aumenta \,T_2 (compressor trabalha mais) e reduz \,T_4 (maior queda na expansão, maior trabalho na turbina).

Passo 3

Agora escrevemos as trocas de calor e a eficiência térmica do ciclo (passo a passo, com definição do que é cada termo).
Definição de calor adicionado e rejeitado (usando c_p constante):
q_\text{in} = c_p\,(T_3 - T_2), \qquad q_\text{out} = c_p\,(T_4 - T_1).
Definição de eficiência térmica:
\eta = 1 - \frac{q_\text{out}}{q_\text{in}}.
Substituindo T_2 e T_4 em função de r:
\eta =1-\frac{T_3 r^{-a}-T_1}{T_3-T_1 r^{a}}.
Comentário didático: esta expressão mostra \eta como uma função explícita de r, com T_1,T_3 e a fixos.
Agora vamos mostrar que \eta aumenta quando r aumenta. Para isso é conveniente estudar a razão
f(r)=\frac{T_3 r^{-a}-T_1}{T_3-T_1 r^{a}},
pois \eta=1-f(r). Se mostrarmos que f'(r)<0 para r>1, então \eta'(r)>0 e \eta cresce com r.
Cálculo do sinal de f'(r) (explicando cada passo):
  • Seja X=T_1 e Y=T_3 para simplificar a escrita, com X,Y>0. Então
f(r)=\frac{Y r^{-a}-X}{Y - X r^{a}}.
  • Derivando por quociente (e usando d r^{a}/dr = a r^{a-1} e d r^{-a}/dr = -a r^{-a-1}) obtemos, após simplificação algébrica,
\frac{df}{dr} = \frac{-a\,(Y - X r^{a})^{2}\,r^{-a-1}}{(Y - X r^{a})^{2}} = -a\,r^{-a-1}\,(Y - X r^{a})^{0}.
(Detalhe da simplificação: o numerador pode ser manipulado e multiplicado por r^{a+1} para ficar - (Y - X r^{a})^{2}, mostrando que é negativo para r>0.)
Portanto
\frac{df}{dr} = -a\,\frac{(Y - X r^{a})^{2}}{(Y - X r^{a})^{2}}\,r^{-a-1} = -a\,r^{-a-1}<0\quad\text{para }r>0.
Conclusão lógica: f(r) é estritamente decrescente com r. Como \eta=1-f(r), segue que
\eta(r)\\ \text{é estritamente crescente com}\\ r.é
Interpretação física simples e motivadora: aumentando a razão de pressão, a temperatura depois do compressor ( T_2) sobe e a temperatura depois da turbina ( T_4) cai; isso reduz a fração de calor rejeitado em relação ao calor adicionado, aumentando a eficiência.

Passo 4

Agora tratamos o trabalho líquido do ciclo e sua dependência em r.
Definição do trabalho líquido por unidade de massa (diferença entre trabalho da turbina e do compressor), usando c_p:
w_\text{net} = q_\text{in}-q_\text{out} = c_p\big[(T_3-T_2)-(T_4-T_1)\big].
Substituindo T_2 e T_4:
w_\text{net} = c_p\Big[T_3 - T_1 - (T_1 r^{a} - T_3 r^{-a})\Big] = c_p\Big[T_3(1 - r^{-a}) - T_1(r^{a}-1)\Big].
Reescrevendo de forma mais clara:
w_\text{net} = c_p\big[T_3(1 - r^{-a}) + T_1(1 - r^{a})\big].
Checagem rápida: para r=1 obtemos w_\text{net}=0 (faz sentido: sem compressão/expansão não há trabalho líquido).
Agora vamos estudar a derivada para ver se w_\text{net} cresce sempre ou tem máximo:
\frac{d w_\text{net}}{dr} = c_p\left[ T_3 \frac{d}{dr}(1-r^{-a}) + T_1 \frac{d}{dr}(1-r^{a})\right] = c_p\,a\left[ T_3 r^{-a-1} - T_1 r^{a-1}\right].
Procuramos ponto crítico resolvendo \dfrac{d w_\text{net}}{dr}=0:
T_3 r^{-a-1} = T_1 r^{a-1} \quad\Longrightarrow\quad T_3 = T_1\,r^{2a} \quad\Longrightarrow\quad r^{2a}=\frac{T_3}{T_1}.
Logo a razão de pressão ótima que extremiza (no caso maximiza) w_\text{net} é
r_\text{opt}=\left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{\!\frac{1}{2a}} = \left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{\!\frac{\gamma}{2(\gamma-1)}}.
Sinal da derivada e natureza do extremo: para r muito pequeno (próximo de 1) a derivada é positiva (aumentando r aumenta o trabalho líquido); para r>r_\text{opt} a derivada torna-se negativa (aumentos adicionais de r reduzem w_\text{net}). Portanto w_\text{net} cresce com r até r_\text{opt} e depois diminui.
Interpretação física: aumentar r inicialmente aumenta mais o trabalho extra extraído pela turbina do que o trabalho consumido pelo compressor, então o trabalho líquido sobe. Após r_\text{opt} o aumento do trabalho do compressor (que cresce rapidamente com r) domina e o trabalho líquido cai.

Passo 5

Resumo final, com observações práticas e uma palavra de ânimo:
  • Eficiência térmica: com \,T_1 e \,T_3 fixas, a eficiência do ciclo aumenta monotonicamente quando a razão de pressão r aumenta. Em fórmula geral:
\eta(r)=1-\frac{T_3 r^{-a}-T_1}{T_3-T_1 r^{a}}\quad\text{com }a=\frac{\gamma-1}{\gamma},
e \eta'(r)>0.
  • Trabalho líquido: com \,T_1 e \,T_3 fixas, o trabalho líquido w_\text{net} não aumenta indefinidamente; ele cresce com r até um ótimo
r_\text{opt}=\left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{\!\frac{\gamma}{2(\gamma-1)}},
e para r>r_\text{opt} o trabalho líquido diminui.
Observação prática: na aplicação real há ainda limites adicionais (por ex. T_2 não pode exceder materiais do combustor, perdas irreversíveis, eficiência isentrópica < 1 etc.), mas a tendência básica acima vale para o ciclo Brayton ideal.
Força aí! É normal ficar tenso, mas com esse raciocínio você consegue justificar qualitativamente e também produzir as fórmulas na prova.

Resposta

A eficiência térmica aumenta monotonamente com a razão de pressão r (mantendo T_1 e T_3 fixas).
O trabalho líquido aumenta com r até uma razão de pressão ótima
r_\text{opt}=\left(\dfrac{T_3}{T_1}\right)^{\!\dfrac{\gamma}{2(\gamma-1)}},
e para r>r_\text{opt} o trabalho líquido passa a diminuir.

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