Determine os valores de x , y e n para que a equação abaixo seja dimensionalmente correta. Mostre todo o seu trabalho.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Enunciado: determinar os valores de
, e para que
seja dimensionalmente correta.
- Informações relevantes (formas dimensionais padrão que usaremos):
- A massa tem dimensão
. - O volume tem dimensão
. - A força tem dimensão dada por
. (Força deriva de massa vezes aceleração.) - A energia (por exemplo trabalho) tem dimensão
. (Energia = força distância.)
- A massa tem dimensão
Esses quatro itens acima são os dados que precisamos para igualar as dimensões dos dois lados da equação.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicação didática curta e prática).
- Regra da homogeneidade dimensional: para uma igualdade física ser válida, os expoentes de
, e devem ser os mesmos nos dois lados da igualdade. Ou seja, as grandezas adimensionais dos dois lados têm que coincidir. - Propriedade útil de potências: se uma grandeza tem dimensão
então
Aplicaremos isso para expandir as potências de força e energia em potências de
,
e
.
Passo 3
Escrever as dimensões de cada lado usando as expressões dadas.
-
Lado esquerdo:Agora aplicando a propriedade das potências:Multiplicando por
obtemos: -
Lado direito:Expandindo:e multiplicando por
dá
Passo 4
Agora igualamos os expoentes de
,
e
entre LHS e RHS, obtendo um sistema de equações lineares.
Comparando potências de
:
Comparando potências de
:
Comparando potências de
:
Essas três equações são as que vamos resolver para
,
e
.
Passo 5
Resolver o sistema passo a passo.
-
Da equação de
: (Dividiu-se ambos os lados por.) -
Substituir
na equação de : Isolando: -
Usando
, obtemos -
Finalmente, usar a equação de
para achar :
Passo 6
Verificação (sempre bom checar para não ter erro algébrico).
-
LHS com os valores encontrados:
-
RHS com os valores encontrados:
Como as dimensões coincidem, os valores encontrados estão corretos.
Passo 7
Interpretação curta e incentivo.
- O resultado
significa que não há fator extra de massa na igualdade (massa aparece apenas na combinação com a força/energia). - Encontrar expoente negativo (
, ) é perfeitamente aceitável: significa potência inversa da grandeza.
Vai dar certo na prova — você fez o processo correto: traduzir em
, expandir potências, igualar expoentes e resolver o sistema linear. Respira, revisa esse passo a passo e treina mais um exercício parecido que eu te ajudo.