Determine os valores de x , y e n para que a equação abaixo seja dimensionalmente correta. Mostre todo o seu trabalho.
(\text { FORÇA })^{\mathrm{x}} \cdot(\text { MASSA })^{\mathrm{y}}=(\text { VOLUME }) \cdot(\text { ENERGIA })^{\mathrm{n}}Ç

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Enunciado: determinar os valores de x, y e n para que
(\text{FORÇA})^{x}\cdot(\text{MASSA})^{y} = (\text{VOLUME})\cdot(\text{ENERGIA})^{n}Ç
seja dimensionalmente correta.
  • Informações relevantes (formas dimensionais padrão que usaremos):
    • A massa tem dimensão \,M.
    • O volume tem dimensão \,L^{3}.
    • A força tem dimensão dada por \text{FORÇA} = M\,L\,T^{-2}Ç. (Força deriva de massa vezes aceleração.)
    • A energia (por exemplo trabalho) tem dimensão \text{ENERGIA} = M\,L^{2}\,T^{-2}. (Energia = força \times distância.)
Esses quatro itens acima são os dados que precisamos para igualar as dimensões dos dois lados da equação.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática curta e prática).
  • Regra da homogeneidade dimensional: para uma igualdade física ser válida, os expoentes de M, L e T devem ser os mesmos nos dois lados da igualdade. Ou seja, as grandezas adimensionais dos dois lados têm que coincidir.
  • Propriedade útil de potências: se uma grandeza tem dimensão (A B C) então
(A B C)^{x} = A^{x} B^{x} C^{x}.
Aplicaremos isso para expandir as potências de força e energia em potências de M, L e T.

Passo 3

Escrever as dimensões de cada lado usando as expressões dadas.
  • Lado esquerdo:
    (\text{FORÇA})^{x}\cdot(\text{MASSA})^{y} = (M L T^{-2})^{x}\cdot (M)^{y}.Ç
    Agora aplicando a propriedade das potências:
    (M L T^{-2})^{x} = M^{x}\,L^{x}\,T^{-2x}.
    Multiplicando por M^{y} obtemos:
    \text{LHS} = M^{x+y}\,L^{x}\,T^{-2x}.
  • Lado direito:
    (\text{VOLUME})\cdot(\text{ENERGIA})^{n} = L^{3}\cdot (M L^{2} T^{-2})^{n}.
    Expandindo:
    (M L^{2} T^{-2})^{n} = M^{n}\,L^{2n}\,T^{-2n},
    e multiplicando por L^{3}
    \text{RHS} = M^{n}\,L^{3+2n}\,T^{-2n}.

Passo 4

Agora igualamos os expoentes de M, L e T entre LHS e RHS, obtendo um sistema de equações lineares.
Comparando potências de M:
x + y = n.
Comparando potências de L:
x = 3 + 2n.
Comparando potências de T:
-2x = -2n.
Essas três equações são as que vamos resolver para x, y e n.

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo.
  • Da equação de T:
    -2x = -2n \;\Rightarrow\; x = n.
    (Dividiu-se ambos os lados por -2.)
  • Substituir n = x na equação de L:
    x = 3 + 2n = 3 + 2x.
    Isolando x:
    x - 2x = 3 \;\Rightarrow\; -x = 3 \;\Rightarrow\; x = -3.
  • Usando x = n, obtemos
    n = -3.
  • Finalmente, usar a equação de M para achar y:
    x + y = n \;\Rightarrow\; -3 + y = -3 \;\Rightarrow\; y = 0.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar para não ter erro algébrico).
  • LHS com os valores encontrados:
    (\text{FORÇA})^{x}\cdot(\text{MASSA})^{y} = (M L T^{-2})^{-3}\cdot M^{0} = M^{-3}\,L^{-3}\,T^{6}.Ç
  • RHS com os valores encontrados:
    (\text{VOLUME})\cdot(\text{ENERGIA})^{n} = L^{3}\cdot (M L^{2} T^{-2})^{-3} = L^{3}\cdot M^{-3}\,L^{-6}\,T^{6} = M^{-3}\,L^{-3}\,T^{6}.
Como as dimensões coincidem, os valores encontrados estão corretos.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo.
  • O resultado y=0 significa que não há fator extra de massa na igualdade (massa aparece apenas na combinação com a força/energia).
  • Encontrar expoente negativo ( x=-3, n=-3) é perfeitamente aceitável: significa potência inversa da grandeza.
Vai dar certo na prova — você fez o processo correto: traduzir em M,L,T, expandir potências, igualar expoentes e resolver o sistema linear. Respira, revisa esse passo a passo e treina mais um exercício parecido que eu te ajudo.

Resposta

x=-3
y=0
n=-3

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