Considerando x como a variável de entrada do sistema, e y como a saída do sistema, assinale a alternativa a seguir que contém a expressão de um sistema linear ( \mathbf{0 , 5} ponto):
Oa) y=x+1.
Ob) y=\frac{x}{21}-2.
Oc) y=x^{2}+1.
(Od) y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das opções representa um sistema linear, considerando x como entrada e y como saída.
As expressões dadas são:
  • Oa) y = x + 1.
  • Ob) y = \dfrac{x}{21} - 2.
  • Oc) y = x^{2} + 1.
  • Od) y = x^{2}.
O que se pede: escolher a alternativa cuja expressão define um sistema linear.

Passo 2

O que significa “sistema linear” (explicação didática e básica, passo a passo).
Um sistema T que associa a cada entrada x uma saída y=T\{x\} é linear se e somente se vale a propriedade de superposição, que tem duas partes equivalentes:
  1. aditividade: para quaisquer entradas x_1,x_2,
T\{x_1 + x_2\} = T\{x_1\} + T\{x_2\};
  1. homogeneidade (ou escalares): para qualquer entrada x e qualquer escalar \alpha,
T\{\alpha x\} = \alpha\,T\{x\}.
Uma consequência imediata dessas propriedades é que o sistema deve mapear zero em zero:
T\{0\} = 0.
Para ver isso, use homogeneidade com \alpha=0: T\{0\} = T\{0\cdot x\} = 0\cdot T\{x\} = 0.
Além disso, no caso de sistemas que recebem um escalar real x e devolvem um escalar y (ou seja, operadores lineares T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}), qualquer aplicação linear tem a forma
T\{x\} = kx
para algum constante k = T\{1\}. Explicando: pela homogeneidade T\{x\} = T\{x\cdot 1\} = x\,T\{1\} = kx. Portanto, um mapa escalar-linear é uma função do tipo y=kx (sem termo constante e sem termos não-lineares como x^2).

Passo 3

Teste rápido e didático: verificar T\{0\} para cada opção (se T\{0\}\neq 0 já descarta linearidade), e em seguida, quando necessário, testar homogeneidade completando com um exemplo numérico ou expressão geral.
Opção Oa) y = x + 1.
  • Calcule T\{0\}: T\{0\} = 0 + 1 = 1 \neq 0.
  • Conclusão: falha na condição T\{0\}=0, logo não é linear.
Opção Ob) y = \dfrac{x}{21} - 2.
  • Calcule T\{0\}: T\{0\} = 0/21 - 2 = -2 \neq 0.
  • Conclusão: falha na condição T\{0\}=0, logo não é linear.
Opção Oc) y = x^{2} + 1.
  • Calcule T\{0\}: T\{0\} = 0^2 + 1 = 1 \neq 0.
  • Conclusão: falha em T\{0\}=0, logo não é linear.
Opção Od) y = x^{2}.
  • Calcule T\{0\}: T\{0\} = 0^2 = 0. Passou no teste do zero, mas isso não garante linearidade completa.
  • Teste de homogeneidade (usar forma geral): para escalar \alpha,
T\{\alpha x\} = (\alpha x)^2 = \alpha^{2} x^{2},
enquanto
\alpha\,T\{x\} = \alpha\,(x^{2}) = \alpha x^{2}.
Essas duas expressões são iguais só se \alpha^{2} = \alpha (isto é, para \alpha=0 ou \alpha=1 apenas), mas não para todos os escalares. Exemplo numérico: com x=1 e \alpha=2,
T\{2\cdot 1\} = 4 \quad\text{mas}\quad 2\,T\{1\} = 2,
logo falha a homogeneidade e, portanto, não é linear.

Passo 4

Resumo didático do teste: para ser linear, a função deve ser da forma y=kx (sem termo constante e sem dependência não linear em x). As opções com termo constante (Oa e Ob) já são não-lineares (afins), e as opções com x^{2} (Oc e Od) são não-lineares por dependerem de x de modo não proporcional.
Portanto nenhuma das alternativas satisfaz a propriedade de linearidade completa (superposição).

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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