Considerando
como a variável de entrada do sistema, e
como a saída do sistema, assinale a alternativa a seguir que contém a expressão de um sistema linear (
ponto):
Oa)
.
Ob)
.
Oc)
.
(Od)
.
Oa)
Ob)
Oc)
(Od)
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das opções representa um sistema linear, considerando
como entrada e
como saída.
As expressões dadas são:
- Oa)
. - Ob)
. - Oc)
. - Od)
.
O que se pede: escolher a alternativa cuja expressão define um sistema linear.
Passo 2
O que significa “sistema linear” (explicação didática e básica, passo a passo).
Um sistema
que associa a cada entrada
uma saída
é linear se e somente se vale a propriedade de superposição, que tem duas partes equivalentes:
- aditividade: para quaisquer entradas
,
- homogeneidade (ou escalares): para qualquer entrada
e qualquer escalar ,
Uma consequência imediata dessas propriedades é que o sistema deve mapear zero em zero:
Para ver isso, use homogeneidade com
:
.
Além disso, no caso de sistemas que recebem um escalar real
e devolvem um escalar
(ou seja, operadores lineares
), qualquer aplicação linear tem a forma
para algum constante
. Explicando: pela homogeneidade
. Portanto, um mapa escalar-linear é uma função do tipo
(sem termo constante e sem termos não-lineares como
).
Passo 3
Teste rápido e didático: verificar
para cada opção (se
já descarta linearidade), e em seguida, quando necessário, testar homogeneidade completando com um exemplo numérico ou expressão geral.
Opção Oa)
.
- Calcule
: . - Conclusão: falha na condição
, logo não é linear.
Opção Ob)
.
- Calcule
: . - Conclusão: falha na condição
, logo não é linear.
Opção Oc)
.
- Calcule
: . - Conclusão: falha em
, logo não é linear.
Opção Od)
.
- Calcule
: . Passou no teste do zero, mas isso não garante linearidade completa. - Teste de homogeneidade (usar forma geral): para escalar
,
enquanto
Essas duas expressões são iguais só se
(isto é, para
ou
apenas), mas não para todos os escalares. Exemplo numérico: com
e
,
logo falha a homogeneidade e, portanto, não é linear.
Passo 4
Resumo didático do teste: para ser linear, a função deve ser da forma
(sem termo constante e sem dependência não linear em
). As opções com termo constante (Oa e Ob) já são não-lineares (afins), e as opções com
(Oc e Od) são não-lineares por dependerem de
de modo não proporcional.
Portanto nenhuma das alternativas satisfaz a propriedade de linearidade completa (superposição).
Resposta
Nenhuma das alternativas.