Considerando y=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-x}-2 x é uma família a dois parâmetros de soluções da equação diferencial y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=6 x+4. Encontre a solução do problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e na condição dada igual do enunciado abaixo.
Determine
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a família de soluções
y = c_{1} e^{3x} + c_{2} e^{-x} - 2x,
onde c_{1} e c_{2} são constantes a determinar a partir das condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que precisamos encontrar é a solução particular dessa família que satisfaz ambas as condições iniciais — isto é, determinar c_{1} e c_{2} e então escrever y(x).

Passo 2

Calcular y(0). Substituir x=0 em y e usar que e^{0}=1:
y(0)=c_{1}e^{0}+c_{2}e^{0}-2\cdot 0 = c_{1}+c_{2}.
A condição y(0)=0 dá a primeira equação para as constantes:
c_{1}+c_{2}=0. \tag{1}
Comentário didático curto: usamos que e^{0}=1, então termos exponenciais ao avaliar em 0 viram simplesmente as constantes multiplicadoras.

Passo 3

Calcular y'(x). Relembrando a regra de derivação de exponencial: se f(x)=e^{ax} então f'(x)=a e^{ax}. Também \dfrac{d}{dx}(-2x)=-2. Aplicando termo a termo:
y'(x)=3c_{1}e^{3x}-c_{2}e^{-x}-2.
Agora avaliar em x=0:
y'(0)=3c_{1}e^{0}-c_{2}e^{0}-2 = 3c_{1}-c_{2}-2.
A condição y'(0)=0 fornece a segunda equação:
3c_{1}-c_{2}-2=0. \tag{2}
Breve comentário: a derivada de c_{1}e^{3x} é 3c_{1}e^{3x} porque a constante c_{1} sai da derivada e aplica-se a regra da cadeia ao 3x.

Passo 4

Resolver o sistema de duas equações lineares em c_{1},c_{2}\): \[\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\[4pt] 3c_{1}-c_{2}-2=0. \end{cases}
Da equação (1)\] obtemos \(c_{2}=-c_{1}. Substituindo em (2):
3c_{1}-(-c_{1})-2=0 \quad\Rightarrow\quad 3c_{1}+c_{1}-2=0 \quad\Rightarrow\quad 4c_{1}-2=0.
Logo
c_{1}=\tfrac{1}{2}.
E então, usando c_{2}=-c_{1},
c_{2}=-\tfrac{1}{2}.
Comentário didático curto: esse é um sistema 2×2 simples; uma técnica eficiente é isolar uma variável e substituir na outra equação, como feito acima.]

Passo 5

Montar a solução com os valores encontrados de c_{1} e c_{2}:
y(x)=\tfrac{1}{2}e^{3x}-\tfrac{1}{2}e^{-x}-2x.
Verificação rápida (opcional para confiança): y(0)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}-0=0 e
y'(x)=\tfrac{3}{2}e^{3x}+\tfrac{1}{2}e^{-x}-2,
logo y'(0)=\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}-2=0, ambas as condições satisfeitas.

Resposta

y(x)=\tfrac{1}{2}e^{3x}-\tfrac{1}{2}e^{-x}-2x

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