Considerando y=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-x}-2 x é uma família a dois parâmetros de soluções da equação diferencial y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=6 x+4. Encontre a solução do problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e na condição dada igual do enunciado abaixo.
Determine
y(1)=4, \quad y^{\prime}(1)=-2

Passo 1

O enunciado dá a família de funções
y=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{-x}-2x
e pede a solução que satisfaz as condições iniciais
y(1)=4,\qquad y'(1)=-2.
Informações relevantes listadas:
  • A função y(x) depende de dois constantes c_{1} e c_{2}.
  • Para determinar c_{1} e c_{2} deve-se usar as duas condições em x=1.
  • Precisaremos da derivada y'(x) para aplicar a segunda condição.

Passo 2

Calcular a derivada y'(x). Vou derivar termo a termo, lembrando que a derivada de e^{ax} é a e^{ax} e a derivada de -2x é -2:
y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{-x}-2x
\Rightarrow\quad y'(x)=3c_{1}e^{3x}-c_{2}e^{-x}-2.

Passo 3

Aplicar a condição y(1)=4. Substituo x=1 em y(x):
y(1)=c_{1}e^{3}+c_{2}e^{-1}-2 =4.
Isolando os termos exponenciais, obtenho a primeira equação para c_{1},c_{2}:
c_{1}e^{3}+c_{2}e^{-1}=6.

Passo 4

Aplicar a condição y'(1)=-2. Substituo x=1 em y'(x):
y'(1)=3c_{1}e^{3}-c_{2}e^{-1}-2=-2.
Isolando os termos exponenciais, obtenho a segunda equação:
3c_{1}e^{3}-c_{2}e^{-1}=0.

Passo 5

Resolver o sistema linear para c_{1}\) e \(c_{2}\): \[\begin{cases} c_{1}e^{3}+c_{2}e^{-1}=6,\\[4pt] 3c_{1}e^{3}-c_{2}e^{-1}=0. \end{cases}
Somando as duas equações elimina (c_{2}e^{-1}]:
(c_{1}e^{3}+3c_{1}e^{3}) + (c_{2}e^{-1}-c_{2}e^{-1}) = 6+0
4c_{1}e^{3}=6 \qquad\Rightarrow\qquad c_{1}e^{3}=\tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2}.
Logo
c_{1}=\tfrac{3}{2}e^{-3}.
Agora uso, por exemplo, a primeira equação para obter c_{2}:
c_{2}e^{-1}=6-c_{1}e^{3}=6-\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{2},
portanto
c_{2}=\tfrac{9}{2}e.]

Passo 6

Escrever a solução particular com os valores de c_{1} e c_{2}. Substituindo nas expressões:
y(x)=\left(\tfrac{3}{2}e^{-3}\right)e^{3x}+\left(\tfrac{9}{2}e\right)e^{-x}-2x.
Simplificando as potências de e:
y(x)=\tfrac{3}{2}e^{3(x-1)}+\tfrac{9}{2}e^{-(x-1)}-2x.
Opcionalmente pode-se checar que y(1)=4 e y'(1)=-2 substituindo x=1 (fica como verificação).

Resposta

y(x)=\tfrac{3}{2}e^{3(x-1)}+\tfrac{9}{2}e^{-(x-1)}-2x

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