Considerando
é uma família a dois parâmetros de soluções da equação diferencial
. Encontre a solução do problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e na condição dada igual do enunciado abaixo.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado dá a família de funções
e pede a solução que satisfaz as condições iniciais
Informações relevantes listadas:
- A função
depende de dois constantes e . - Para determinar
e deve-se usar as duas condições em . - Precisaremos da derivada
para aplicar a segunda condição.
Passo 2
Calcular a derivada
. Vou derivar termo a termo, lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é
:
Passo 3
Aplicar a condição
. Substituo
em
:
Isolando os termos exponenciais, obtenho a primeira equação para
:
Passo 4
Aplicar a condição
. Substituo
em
:
Isolando os termos exponenciais, obtenho a segunda equação:
Passo 5
Resolver o sistema linear para
Somando as duas equações elimina (c_{2}e^{-1}]:
Logo
Agora uso, por exemplo, a primeira equação para obter
:
portanto
Passo 6
Escrever a solução particular com os valores de
e
. Substituindo nas expressões:
Simplificando as potências de
:
Opcionalmente pode-se checar que
e
substituindo
(fica como verificação).