Considerar o sistema mecânico rotacional.
Achar:
- A equação de movimento, função de transferência (entrada
e saída
), polos e resposta do sistema
ao impulso unitário
.
- Considerar um controlador proporcional derivativo:
achar o erro em estado estável para uma entrada de torque de disturbio (
) degrau unitário. O erro é definido como
.
Lembrando que:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (lista clara):
- Pedidos (dois blocos):
- Achar a equação de movimento; a função de transferência entre a entrada
e a saída ; os polos do sistema; e a resposta quando a entrada é um impulso unitário . - Com um controlador proporcional-derivativo dado por
, achar o erro em regime permanente quando há uma entrada de torque de distúrbio que é um degrau unitário. O erro é definido por .
- Achar a equação de movimento; a função de transferência entre a entrada
- Informações físicas implícitas (sistema rotacional simples):
- Há um momento de inércia
e um atrito viscoso com coeficiente . - O torque total aplicado ao eixo produz aceleração rotacional segundo as leis de Newton para rotação.
- Há um momento de inércia
- Observações/assunções necessárias para resolver a parte do controlador:
- Vou assumir que o distúrbio
soma ao torque aplicado à planta (ou seja, torque na planta = ). - Para calcular o erro causado pelo distúrbio vou considerar o problema de regulação, isto é, referência nula
. (Se a referência fosse não nula, o resultado final dependeria de .)
- Vou assumir que o distúrbio
- Fórmulas e teoremas que serão usados (lembrando que estão no enunciado também):
- Transformada de Laplace, uso da transformada para equações diferenciais.
- Teorema do valor final:
.
Passo 2
Modelagem física e equação de movimento (aula rápida).
- Em um sistema rotacional com momento de inércia
e atrito viscoso , o balanço de torques é análogo a linear. O torque de inércia é e a taxa de perda por atrito é . Somando torques:
onde
é o torque de entrada (controlador). Essa é a equação de movimento pedida.
- Comentário didático:
é o deslocamento angular; é velocidade angular; é aceleração angular. O termo modela perda de energia proporcional à velocidade (atrito viscoso).
Passo 3
Passagem para Laplace e obtendo a função de transferência
.
- Defina
. Tomando Laplace da equação de movimento (condições iniciais nulas, como usual para funções de transferência):
é mais simples escrever a equação em
: derivando
temos
.
- Tomando Laplace (condições iniciais nulas):
- Isolando a função de transferência entre
e :
- Podemos também escrever numa forma alternativa:
- Interpretação: é um sistema de primeira ordem com constante de tempo
.
Passo 4
Polos do sistema e interpretação física.
- O pólo (único) da função de transferência é o zero do denominador:
- Se
e , esse pólo é real e negativo → sistema estável. - Comentário prático: quanto maior
(mais amortecimento), mais rápido o decaimento; quanto maior (maior inércia), maior a constante de tempo e mais lento o sistema.
Passo 5
Resposta ao impulso unitário
(aula sobre impulso).
- No domínio de Laplace,
. Para entrada temos:
- Inversão da transformada (usar a forma
):
onde
é a função degrau unitário (para formalidade da resposta no tempo).
- Explicação didática: um impulso de torque aplicado instantaneamente dá um salto na velocidade angular proporcional a
no instante, e então essa velocidade decai exponencialmente devido ao atrito. A amplitude inicial imediata do impulso se vê no termo .
Passo 6
Resumo (intermediário) dos resultados já obtidos (curto e útil):
- Equação de movimento:
. - Função de transferência (entrada
, saída ): . - Polo:
. - Resposta ao impulso unitário:
.
Passo 7
Agora: análise de controle com
e distúrbio de torque em degrau. Esquematizando o laço para derivação:
- Planta:
se quisermos relacionar com torque plant input. Atenção: antes trabalhamos . Para analisar erro em convém ter em função do torque de entrada total. Como , a relação dá
- O controlador em série com o erro produz o torque de controle
com . - O distúrbio
soma ao torque na entrada da planta (modelo: torque plant ). A referência será ; para calcular o erro causado pelo distúrbio eu assumi (regulação). - Vamos montar as equações para
em função de .
Passo 8
Equações de laço e resolução algébrica para
quando
.
- No domínio de Laplace, com
, o erro é (porque ). - A plantada relaciona
a :
onde
é
.
- Como
e , substituindo:
- Agrupando termos com
:
- Assim
- E, lembrando
,
Passo 9
Aplicando o Teorema do Valor Final para achar
quando
é um degrau unitário.
- Para degrau unitário
, sabemos . - Pelo teorema do valor final:
- Substituindo a expressão de
:
- Portanto precisamos avaliar a função dentro do limite quando
.
Passo 10
Avaliação do limite substituindo expressões de
e
.
- Lembrando:
- Primeiro calcular
:
- Agora avaliar
e em : -
— atenção: tem um polo em (devido ao fator porque é integral de ). Logo tende a quando . Isso precisa de tratamento para o quociente .
-
- Para avaliar
é melhor manipular algebricamente:
- Substituindo
:
- Agora tomar o limite
: -
(porque há um fator multiplicando). -
.
-
- Logo
- Portanto, do passo anterior,
- Atenção: esta conclusão usa a modelagem em termos de
(soma do distúrbio na entrada de torque) e a suposição . Fizemos uso da forma algébrica que cancela o comportamento singular de em .
Passo 11
Interpretação física e verificação de sinais.
- Resultado encontrado:
para um distúrbio de torque unitário aplicado permanentemente, com . - Lembrete:
. Com , o erro em regime permanente é . Como o torque de distúrbio positivo tende a produzir , é natural que seja negativo. - Se preferir a magnitude do erro (desvio absoluto da referência):
. Isso mostra que aumentando reduz o erro devido a distúrbio de passo de torque. - Observação sobre
: o termo derivativo não aparece no valor final do erro causado por um degrau de distúrbio porque no limite o termo anula-se. Isso é consistente com conhecimentos básicos: ação derivativa não afeta erro em regime permanente para entradas de baixa frequência (constantes), enquanto ação proporcional e integral sim.
Resposta
Polo:
Assumindo