Questão 5 - ID2.1) Em termos de sistemas lineares invariantes no tempo, combinando as propriedades de aditividade e homogeneidade, avaliar se o sistema cuja transformação do sinal de entrada
para o sinal de saída
é dada a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a transformação do sinal de entrada
para a saída
:
O que é pedido: avaliar, usando as propriedades de aditividade e homogeneidade, se o sistema é linear e se é invariante no tempo. Ou seja:
- Verificar se o sistema satisfaz homogeneidade (escala multiplicativa).
- Verificar se o sistema satisfaz aditividade (resposta à soma é soma das respostas).
- Verificar se o sistema é invariante no tempo (um atraso na entrada gera o mesmo atraso na saída).
Passo 2
Explicando as propriedades de forma clara e prática:
- Homogeneidade (ou escala): um sistema
é homogêneo se, para qualquer escalar e qualquer sinal , valer
Aqui
denota a saída quando a entrada é
.
- Aditividade: o sistema
é aditivo se, para quaisquer sinais e ,
- Linearidade: o sistema é linear se satisfaz simultaneamente homogeneidade e aditividade (ou, equivalentemente, superposição:
). - Invariância no tempo:
é invariante no tempo se, para todo atraso ,
onde
.
Vou testar cada propriedade passo a passo.
Passo 3
Teste de homogeneidade (teste geral, com álgebra):
Começamos aplicando o sistema a uma entrada escalada . A saída será
Começamos aplicando o sistema a uma entrada escalada
Desenvolvendo o quadrado:
Compare com
.
Para homogeneidade exigiríamos
Para homogeneidade exigiríamos
Isso só ocorre sempre se
, ou seja
ou
. Como a igualdade não vale para todo
(por exemplo
falha), concluímos algebraicamente que a propriedade de homogeneidade NÃO é satisfeita.
Passo 4
Um contraexemplo numérico simples para fixar a ideia (praquele momento de pânico na prova): escolha
e qualquer
com
para algum
. Então
enquanto
Como
, a homogeneidade falha na prática — bingo, não é linear por esse teste só.
Passo 5
Teste de aditividade (álgebra geral):
Sejam duas entradas e
. A saída para a soma é
Sejam duas entradas
Expandindo o quadrado:
Enquanto a soma das saídas individuais seria
Comparando, percebe-se o termo cruzado
presente em
que não aparece em
. Portanto a aditividade falha (exceto em casos especiais em que o termo cruzado é zero).
Passo 6
Contraexemplo numérico para aditividade (pra fixar): escolha
e
(sinais constantes iguais a 1). Então
enquanto
Como
, a aditividade falha claramente.
Passo 7
Teste de invariância no tempo:
Se , considere a entrada atrasada
. A saída correspondente é
Se
Agora atrase a saída original
em
:
As duas expressões são idênticas para todo
e todo
. Logo o sistema é INVARIANTE NO TEMPO.
Passo 8
Interpretação final do que os testes nos dizem (tomando coragem para a prova):
- O sistema NÃO satisfaz homogeneidade (falha escalar, porque aparece
em vez de ). - O sistema NÃO satisfaz aditividade (aparecem termos cruzados ao quadrado).
- O sistema é, porém, invariante no tempo (um atraso na entrada corresponde ao mesmo atraso na saída).
Resposta
O sistema não é linear (não satisfaz homogeneidade nem aditividade).
O sistema é invariante no tempo.
O sistema é invariante no tempo.