Questão 5 - ID2.1) Em termos de sistemas lineares invariantes no tempo, combinando as propriedades de aditividade e homogeneidade, avaliar se o sistema cuja transformação do sinal de entrada x(t) para o sinal de saída y(t) é dada a seguir:
y(t)=2 x(t-1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a transformação do sinal de entrada x(t) para a saída y(t):
y(t)=2\,x(t-1)^{2}.
O que é pedido: avaliar, usando as propriedades de aditividade e homogeneidade, se o sistema é linear e se é invariante no tempo. Ou seja:
  • Verificar se o sistema satisfaz homogeneidade (escala multiplicativa).
  • Verificar se o sistema satisfaz aditividade (resposta à soma é soma das respostas).
  • Verificar se o sistema é invariante no tempo (um atraso na entrada gera o mesmo atraso na saída).

Passo 2

Explicando as propriedades de forma clara e prática:
  • Homogeneidade (ou escala): um sistema S é homogêneo se, para qualquer escalar \alpha e qualquer sinal x(t), valer
S\{\alpha x(t)\}=\alpha\,S\{x(t)\}.
Aqui S\{x(t)\} denota a saída quando a entrada é x(t).
  • Aditividade: o sistema S é aditivo se, para quaisquer sinais x_1(t) e x_2(t),
S\{x_1(t)+x_2(t)\}=S\{x_1(t)\}+S\{x_2(t)\}.
  • Linearidade: o sistema é linear se satisfaz simultaneamente homogeneidade e aditividade (ou, equivalentemente, superposição: S\{\alpha x_1 + \beta x_2\}=\alpha S\{x_1\}+\beta S\{x_2\}).
  • Invariância no tempo: S é invariante no tempo se, para todo atraso t_0,
S\{x(t-t_0)\}=y(t-t_0),
onde y(t)=S\{x(t)\}.
Vou testar cada propriedade passo a passo.

Passo 3

Teste de homogeneidade (teste geral, com álgebra):
Começamos aplicando o sistema a uma entrada escalada \alpha x(t). A saída será
S\{\alpha x(t)\}=2\big(\alpha x(t-1)\big)^{2}.
Desenvolvendo o quadrado:
2\big(\alpha x(t-1)\big)^{2}=2\,\alpha^{2}\,x(t-1)^{2}.
Compare com \alpha S\{x(t)\}=\alpha\cdot 2\,x(t-1)^{2}=2\,\alpha\,x(t-1)^{2}.
Para homogeneidade exigiríamos
2\,\alpha^{2}\,x(t-1)^{2}=2\,\alpha\,x(t-1)^{2}\quad\text{para todo }\alpha,x.
Isso só ocorre sempre se \alpha^{2}=\alpha, ou seja \alpha=0 ou \alpha=1. Como a igualdade não vale para todo \alpha (por exemplo \alpha=2 falha), concluímos algebraicamente que a propriedade de homogeneidade NÃO é satisfeita.

Passo 4

Um contraexemplo numérico simples para fixar a ideia (praquele momento de pânico na prova): escolha \alpha=2 e qualquer x(t) com x(t-1)\neq0 para algum t. Então
S\{\alpha x(t)\}=2\,(2)^{2}\,x(t-1)^{2}=8\,x(t-1)^{2},
enquanto
\alpha S\{x(t)\}=2\cdot\big(2\,x(t-1)^{2}\big)=4\,x(t-1)^{2}.
Como 8\,x(t-1)^{2}\neq4\,x(t-1)^{2}, a homogeneidade falha na prática — bingo, não é linear por esse teste só.

Passo 5

Teste de aditividade (álgebra geral):
Sejam duas entradas x_1(t) e x_2(t). A saída para a soma é
S\{x_1(t)+x_2(t)\}=2\big(x_1(t-1)+x_2(t-1)\big)^{2}.
Expandindo o quadrado:
2\big(x_1(t-1)+x_2(t-1)\big)^{2}=2\big(x_1(t-1)^{2}+2\,x_1(t-1)x_2(t-1)+x_2(t-1)^{2}\big).
Enquanto a soma das saídas individuais seria
S\{x_1(t)\}+S\{x_2(t)\}=2x_1(t-1)^{2}+2x_2(t-1)^{2}.
Comparando, percebe-se o termo cruzado 4\,x_1(t-1)x_2(t-1) presente em S\{x_1+x_2\} que não aparece em S\{x_1\}+S\{x_2\}. Portanto a aditividade falha (exceto em casos especiais em que o termo cruzado é zero).

Passo 6

Contraexemplo numérico para aditividade (pra fixar): escolha \,x_1(t)\equiv1 e x_2(t)\equiv1 (sinais constantes iguais a 1). Então
S\{x_1+x_2\}=2(1+1)^{2}=2\cdot 4=8,
enquanto
S\{x_1\}+S\{x_2\}=2\cdot 1^{2}+2\cdot 1^{2}=2+2=4.
Como 8\neq4, a aditividade falha claramente.

Passo 7

Teste de invariância no tempo:
Se y(t)=S\{x(t)\}=2x(t-1)^{2}, considere a entrada atrasada x_d(t)=x(t-t_0). A saída correspondente é
S\{x(t-t_0)\}=2\big(x(t-t_0-1)\big)^{2}.
Agora atrase a saída original y(t) em t_0:
y(t-t_0)=2\big(x(t-t_0-1)\big)^{2}.
As duas expressões são idênticas para todo t_0 e todo x. Logo o sistema é INVARIANTE NO TEMPO.

Passo 8

Interpretação final do que os testes nos dizem (tomando coragem para a prova):
  • O sistema NÃO satisfaz homogeneidade (falha escalar, porque aparece \alpha^{2} em vez de \alpha).
  • O sistema NÃO satisfaz aditividade (aparecem termos cruzados ao quadrado).
  • O sistema é, porém, invariante no tempo (um atraso na entrada corresponde ao mesmo atraso na saída).

Resposta

O sistema não é linear (não satisfaz homogeneidade nem aditividade).
O sistema é invariante no tempo.

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