Para a função de transferência a seguir, encontre a representação no espaço de estados nas formas canônicas diagonal (ou Jordan, se for o caso), controlável e observável. (Valor 2,5).
G(s)=\frac{s^{3}+10 s^{2}+30 s+25}{(s+3)(s+2)(s+3)}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{s^{3}+10 s^{2}+30 s+25}{(s+3)(s+2)(s+3)}
O que é pedido:
  • Encontrar a forma canônica diagonal (ou Jordan, porque há pólos repetidos).
  • Encontrar a forma canônica controlável.
  • Encontrar a forma canônica observável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O denominador fatorado é (s+3)^{2}(s+2). Logo há um pólo em -3 de multiplicidade 2 e um pólo simples em -2.
  • O grau do numerador é igual ao do denominador (ambos são grau 3), portanto existe um termo de alimentação direta D diferente de zero (valor da função em infinito é o quociente dos coeficientes líderes, que é 1).

Passo 2

Primeiro faço a separação entre a parte de ganho direto D e a parte estritamente própria. O limite quando s\to\infty é o quociente dos coeficientes líderes:
D=\lim_{s\to\infty}G(s)=\frac{1}{1}=1.
Então escrevo
G(s)=1+G_p(s),
onde G_p(s) é a parte estritamente própria. Para obter G_p(s) faço a subtração de polinômios: o denominador expandido é
(s+3)^2(s+2)=(s^2+6s+9)(s+2)=s^3+8s^2+21s+18.
Subtraindo do numerador:
s^{3}+10 s^{2}+30 s+25 - (s^3+8s^2+21s+18) = 2s^2+9s+7.
Portanto
G_p(s)=\frac{2s^2+9s+7}{(s+3)^2(s+2)}.

Passo 3

Faço a decomposição em frações parciais de G_p(s)\). Como há um pólo duplo em \(-3\) e um pólo simples em \(-2\), escrevo \[\frac{2s^2+9s+7}{(s+3)^2(s+2)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{(s+3)^2}.
Multiplico ambos os lados por (s+3)^2(s+2) e obtemos a identidade de polinômios
2s^2+9s+7 = A(s+3)^2 + B(s+3)(s+2) + C(s+2).
Expando cada termo:
A(s^2+6s+9) + B(s^2+5s+6) + C(s+2).
Agrupando coeficientes de s^2, s e termo constante resulta o sistema
\begin{cases} A + B = 2,\\[4pt] 6A + 5B + C = 9,\\[4pt] 9A + 6B + 2C = 7. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação B=2-A\]. Substituindo nas outras duas e eliminando obtem-se \(A=-3, B=5, C=2. Portanto
G_p(s)=\frac{-3}{s+2}+\frac{5}{s+3}+\frac{2}{(s+3)^2}.
Logo a decomposição completa é
G(s)=1 -\frac{3}{s+2}+\frac{5}{s+3}+\frac{2}{(s+3)^2}.]

Passo 4

Construção da forma modal (Jordan). Como o pólo -3 é duplo, a forma modal não será diagonalizável completa: teremos um bloco de Jordan 2\times2 correspondente a -3 e um bloco 1\times1 correspondente a -2.
Propriedade útil (razão para escolher esta forma): para o bloco de Jordan
J_{2}(-3)=\begin{pmatrix}-3 & 1\\[2pt] 0 & -3\end{pmatrix},
temos
(sI-J_{2}(-3))^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{s+3} & \dfrac{1}{(s+3)^2}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{s+3}\end{pmatrix}.
Se para esse bloco escolhermos vetores de entrada e saída \mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} e \mathbf{c}^\top=(c_1\; c_2), a contribuição ao ganho é
\mathbf{c}^\top (sI-J_2)^{-1}\mathbf{b}=\frac{c_1 b_1 + c_2 b_2}{s+3} + \frac{c_1 b_2}{(s+3)^2}.
Comparando com os termos \dfrac{5}{s+3}+\dfrac{2}{(s+3)^2}, basta satisfazer
c_1 b_2 = 2,\qquad c_1 b_1 + c_2 b_2 = 5.
Escolho uma escolha conveniente (graus de liberdade de realização): tomo b_2=1, b_1=0. Então c_1=2 (pois c_1 b_2=2) e c_2=5 (pois 0\cdot2 + c_2\cdot1=5). Para o pólo -2 simples, a contribuição é \dfrac{c_3 b_3}{s+2} e deve ser -\dfrac{3}{s+2}, então escolho b_3=1, c_3=-3.
Assim a realização modal (Jordan) ficará com matrizes, na ordem de estados [\text{estado bloco }(-3)\\ \text{(pos 1)},\\ \text{estado bloco }(-3)\\ \text{(pos 2)},\\ \text{estado }(-2)]:
A=\begin{pmatrix}-3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 5 & -3\end{pmatrix},\qquad D=1.
Verificação rápida (mental): o bloco 2\times2 produz \dfrac{5}{s+3}+\dfrac{2}{(s+3)^2} com os b,c escolhidos e o termo do pólo -2 produz -\dfrac{3}{s+2}; somando com D=1 recupera G(s).]

Passo 5

Construção da forma canônica controlável (companion controlável). Usa-se a parte estritamente própria G_p(s) escrita como
G_p(s)=\frac{2s^2+9s+7}{s^3+8s^2+21s+18}.
Para um polinômio denominador s^3+a_1 s^2+a_2 s+a_3 e numerador b_0 s^2+b_1 s+b_2, a forma controlável padrão é
A_c=\begin{pmatrix} - a_1 & - a_2 & - a_3\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad B_c=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad C_c=(b_0\; b_1\; b_2),\quad D_c=0.
No nosso caso a_1=8,\\ a_2=21,\\ a_3=18 e b_0=2,\\ b_1=9,\\ b_2=7. Então a realização para G_p(s) é
A_c=\begin{pmatrix}-8 & -21 & -18\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix},\quad B_c=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad C_c=\begin{pmatrix}2 & 9 & 7\end{pmatrix},\quad D_c=0.
Como G(s)=1+G_p(s), a forma controlável para G(s) tem o mesmo A_c,B_c,C_c e D=1:
A_{\text{controlável}}=A_c,\quad B_{\text{controlável}}=B_c,\quad C_{\text{controlável}}=C_c,\quad D_{\text{controlável}}=1.áááá]

Passo 6

Construção da forma canônica observável. Uma maneira direta é usar a transposta da forma controlável (companions transpostos) e trocar B e C^\top. Para G_p(s) a forma observável padrão é
A_o=A_c^\top,\quad B_o=C_c^\top,\quad C_o=B_c^\top,\quad D_o=0.
Portanto, usando os A_c,B_c,C_c do passo anterior:
A_o=\begin{pmatrix}-8 & 1 & 0\\[4pt]-21 & 0 & 1\\[4pt]-18 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad B_o=\begin{pmatrix}2\\[4pt]9\\[4pt]7\end{pmatrix},\quad C_o=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad D_o=0.
Como G(s)=1+G_p(s), a forma observável para G(s) recebe D=1:
A_{\text{observável}}=A_o,\quad B_{\text{observável}}=B_o,\quad C_{\text{observável}}=C_o,\quad D_{\text{observável}}=1.áááá]

Resposta

Forma canônica (Jordan / modal):
A=\begin{pmatrix}-3 & 1 & 0\\[4pt]0 & -3 & 0\\[4pt]0 & 0 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 5 & -3\end{pmatrix},\qquad D=1.
Forma canônica controlável:
A=\begin{pmatrix}-8 & -21 & -18\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 9 & 7\end{pmatrix},\qquad D=1.
Forma canônica observável:
A=\begin{pmatrix}-8 & 1 & 0\\[4pt]-21 & 0 & 1\\[4pt]-18 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2\\[4pt]9\\[4pt]7\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad D=1.]

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