Em 
 , considere 
 .
© Se 
 , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
© Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma base 
  em três dimensões, com três vetores específicos. Temos também um vetor 
  dado nas coordenadas dessa base 
 . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor 
  na base canônica, que é a base padrão que usamos normalmente em 
 . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas de uma base para outra usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em 
 . Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que conseguem representar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares deles. Aqui, a base 
  é formada pelos vetores:
Esses vetores formam uma base ortonormal, o que facilita nossos cálculos.
Passo 3
Agora, sabemos que o vetor 
  está escrito nas coordenadas da base 
 , ou seja:
Isso significa que:
Nosso objetivo é expressar 
  na base canônica, que é formada pelos vetores unitários 
 , 
  e 
 .
Passo 4
Para fazer essa conversão, vamos somar as componentes dos vetores da base 
  multiplicados pelos coeficientes dados:
Substituindo os valores dos vetores 
 , 
  e 
 :
Passo 5
Agora, vamos fazer as multiplicações:
Passo 6
Agora, vamos somar esses resultados componente a componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Passo 7
Assim, as coordenadas do vetor 
  na base canônica são:
Resposta
As coordenadas de 
  na base canônica são 
 .